Annak érdekében, hogy vésés
Saját függvények és operátorok gömb alakú harmonikus:
, .
Helyettesítő ezeket az egyenleteket, explicit kifejezéseket a szolgáltatók gömbi koordináták:
Nézzük megoldani a differenciálegyenlet-rendszert elválasztásával változók:
A második egyenletből megkapjuk
Ha megváltoztatja a szöget, akkor visszatér a kiindulási pont a térben. Mivel a hullám funkció egyértelműnek kell lennie, akkor
.
Az első egyenlet a rendszer, és csökkenti, megkapjuk az egyenlet a következő
.
Végezze el a változás a változók:
, .
,
és az egyenlet formáját ölti
.
Az elmélet matematikai fizika egyenletek eltérések vannak, csak akkor, ha
,
hol. Ez az, amikor megkapjuk az egyenlet bármilyen
hol. Ebben az esetben - egy funkció nélküli szingularitás meg. Mivel az egyenlet funkciókat tartalmazza, és egymástól csak konstans tényezővel.
Két esetet
.
Ezután az oldatot - a Legendre polinom foka. Explicit formában adják Rodrigues:
b). Aztán - csatolt Legendre polinom. Számára van:
.
Legendre polinomok az a tulajdonságuk ortogonalitásának:
.
Tehát szférikus harmonikusok (a nem-negatív):
.
A konstansok találhatók a normalizáció feltétel
.
Meg lehet mutatni, hogy a
.
Gömb harmonikus negatív definíció figyelembe egyenlő
Gömb harmonikus alkossanak ortonormált bázis területén.