A bevezetés a valószínűsége az esemény - az elmélet a valószínűség
Minden kísérlet véget ér különösebb eredményt, ami nem mindig lehetséges előre megjósolni. Annak érdekében, hogy formálisan leírni néhány kísérletet, meg kell adni az összes lehetséges eredménye, hogy a kísérlet is a végén. A valószínűségszámítás, ezek az eredmények nevezzük eredményeket. Az összes lehetséges kimenetelét egy kísérlet az úgynevezett tér elemi események. Feltételezzük, hogy a kísérlet is a végén egy és csak egy elemi kimenetelét. A legegyszerűbb esetben, az összes ilyen eredményeket lehet sorolni:
Egy ilyen hely az úgynevezett diszkrét elemi eredményeket.
A legegyszerűbb elemi esemény tér az a hely, ahol az összes ilyen eredmények tekinthető kísérlet:
2) kölcsönösen inkompatibilis (azaz, egy és csak egy ilyen eredmények előfordulhat eredményeként a kísérlet)
3) az összes eredmények alkotnak komplett esemény csoport (azaz nincsenek más következmények, mint a felsoroltak nem fordulhat elő).
Ezt a helyet nevezik a helyet, és természetesen az is lehetséges kimenetele (vagy szimmetrikus tér).
1. példa Amikor egy pénzfeldobást szimmetrikus két lehetséges megoldást - elvesztése farkát vagy jelkép. Ezek megfelelnek mind a három a fenti feltételeknek, ezért ebben az esetben a tér elemi események úgy tűnik, hogy (itt a betűk P és G kijelölt farok és címer, rendre):
2. példa egyidejű esése két érme eredményeket rendezett párok álló szimbólumok R és G. Az első elem a páros - az eredmény, a csapadékot az első érme, a második elem - az eredmény a második érme. Nyilvánvaló, hogy ezek a párok - négy:
3. példa Abban az esetben, dobott egy szerszámon lehet esni bármely számot 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ezért, a tér elemi események
4. példa Egyidejű két kocka dobás elemi kimenetelek pár (x, y), ahol x - a pontok száma, hogy esett az első szerszámon, és y - pontok száma a második csont. Minden ilyen pár - 36:
A diszkrét térben valószínűsége az egyes elemi előre meghatározott eredményt tekintjük, és jelöljük R (i), vagy csak pi. és mindig
azaz összege (véges vagy végtelen) annak a valószínűségét minden elemi esemény egyike. Elementary eredmények nevezünk elemi esemény.
Egy esemény bármely alcsoportja, amely elemi esemény tér elemi események. Azt mondják, hogy „az A esemény történt”, amikor a kísérlet véget ért az egyik elemi eredményeinek i A.
Valószínűsége, hogy A esemény az összege a valószínűségek minden elemi esemény tartozó, azaz P (A) =. Ebből a meghatározásból következik valószínűségű esemény, mindig 0 P (A) 1.
Abban az esetben, egyformán valószínű eredmények elemi esemény valószínűsége az A formula határozza meg
ahol - az elemek száma a készletben. ami általában nevezik „az összes eredmények”, és - elemek száma a halmaz, az úgynevezett „a kedvező esetek száma.”
A esemény, amely az összes elemi eredmények nem-A, a továbbiakban az ellenkező eseményen A. Ez történik akkor, ha az A esemény nem történt. Nyilvánvaló, hogy a P (A) + P (A) = 1. Ez az egyenlet kiszámításához használt valószínűsége egy esemény egy, ha az ellentétesen esemény valószínűsége ismert, vagy könnyen megtalálható, akkor P (A) = 1 - P (A).
Így kiszámítható a valószínűsége az egyes feladat fontos meghatározni, hogy mi a kísérlet, hogy megfelelően építeni a megfelelő hely az elemi események és osztja azt az eseményt A. Ezután kombinatorikus módszerekkel, hogy számolja meg az elemek és az A.
Probléma 1 doboz 5 4 narancs és az alma. 3 gyümölcs véletlenszerűen kiválasztott. Mi a valószínűsége annak, hogy mind a három gyümölcs - narancs?
Határozat. Elemi esemény itt tartalmazó minta 3 gyümölcs.
Határozat. Mivel a rend közömbös, azt feltételezzük, hogy a minta rendezetlen (és persze, ismétlések nélkül). A teljes száma az elemi események száma módon választhatja ki a 3 elem 9, azaz kombinációk száma n =. A kedvező esetek száma m = megegyezik a számos módon a választás a három elérhető narancs 5, azaz kombinációk száma három elemből 5, azaz Akkor annak a valószínűsége
2. feladat: A tanár biztosítja mind a három diák elképzelni bármilyen szám 1-től 10. Tekintettel arra, hogy a választás minden olyan hallgatói létszám adott ravnovozmozhen, annak a valószínűsége, hogy egy részük fogant mérkőzés.
Határozat. Kiszámítjuk az első összes esetek száma. Elementary eredmények azt feltételezi, rendezett gyűjtemények fogant számok: N1. N2. N3. ahol N1 - szám első fogant diák, N2 - a második és N3 - első harmada kiválasztja az egyik szám 10-10, jellemzői a második ugyanezt teszi - 10 lehetőség, végül a választás a harmadik is 10 lehetőség. Az alaptétel kombinatorika az összes módszer lesz:
n = N1 N2 N3 március 10. = 1000 elemi esemény.
Számítva a kedvező esetek száma sokkal bonyolultabb. Megjegyezzük, hogy a véletlen fogant számok is előfordulhat bármely két diák (akár egyidejűleg mind a három). Szétszedni külön minden ilyen esetben célszerű menj az ellenkező esetben, azaz, számolni az esetek száma, ahol mindhárom diák elképzelni különböző számokat. Az első még mindig 10 módját választotta számokat. A második tanuló most már csak 9 lehetőségei (ahogy azt kell vigyázni, hogy nem esik egybe a szám fogant az elsők között a diákok N2 N1 harmadik diák még korlátozott választék -. Tartalmaz egy összesen 8 (10-ből a két kizárt N3 szám: .. N3 N1 N3 N2) Ezért, az összes kombinációk számok fogant, amelyben nincs egyezés, sem pedig ugyanazon alapvető tétel m = 10 9 8 = 720. a többi esetben 1000-720 = 280 az jellemző, hogy legalább egy egyezés. Következésképpen, a kívánt megegyezés valószínűsége egyenlő R = 280/1000 = 0.28.
3. feladat annak a valószínűsége, hogy egy 8-jegyű számot pontosan 4 számjegy azonos, a többi különböző.
Határozat. Az esemény A =. A feltételek a probléma, ebből következik, hogy között 5 különböző számokat, amelyek közül az egyik ismétlődik - a számos módon az ő választása - akár 10 számjegy, és ez a szám zajlik minden 4. szám - a számos módja van. A fennmaradó 4 ülőhely elfoglalására különböző számú felhasználatlan 9, és mivel a szám függ a sorrendben a számok elrendezése, a számos módon választja négy számjegy megegyezik. Ezután a kedvező esetek száma. Összességében, a módszerek kidolgozása egy 8-jegyű szám egyenlő 10 || = 8. A szükséges valószínűség.
Probléma 4: A hat vevők véletlenszerűen kezeltük 5 vállalat. Annak a valószínűsége, hogy legalább az egyik cég ellen fellebbezésnek helye nincs.
Határozat. Tekintsük az ellenkező esetben. amely a tényt, hogy mind az 5 vállalat kérte az ügyfél, akkor egy részük fordult két ember, és a másik 4 cég - egy ügyfél. Ezek a lehetőségek. És csak módja volt eljuttatni a 6 ügyfelek 5 vállalat. Itt van. ezért.
Probléma 5. Jelenleg 5 „boldog” Az egyik vizsgálat a jegyek 25 és 20 „boldogtalan”. A diákok megfelelő a jegyek egyenként viszont. Kinek van több valószínűséggel rajz egy „szerencsés” jegy: az egyik, aki eljött az első vagy az egyetlen, aki a második helyen?
Határozat. Hagyja, hogy a „boldog” jegyet is számok 1,2,3,4,5. Jelölje i1 jegy száma, hogy az első tanuló révén i2 - jegy száma, hogy a második diák, majd az elemi eredmény lesz egy pár. és a tér elemi események
Itt minden elemi eredmények egyformán valószínű. Esemény a formája A =
Az egyes eseményeket az A és B elemeket tartalmazó, és az összes helyet tartalmaz elemeket. Ezért a P (A) = P (B) = 1/5.