rendszeres jellemzői
12. § tulajdonságai normál funkció 93
Tól Tétel 2, és p. 7. következőképpen § 3
Következmény 5. A harmonikus függvény végtelen, végtelen differenciálható.
3. olyan rendszerességgel feltételekkel. Tétel 1-érvényesített, hogy elégséges feltétele a szabályszerűségét D / (Z) van a függvény differenciálható. Ras nézni más elégséges feltételek.
3. Tétel (Morera tétel). Legyen a függvény / (Z) folytonos a csatlakoztatott tartomány D, és hagyja, hogy a szerves függvény-tsiif (z) nincs semmilyen zárt körvonalat fekvő D, nullával egyenlő. Ezután az f (z) szabályos a régióban D.
Bizonyítás. A következménye 3 § 9 f (Z) egy primitív, t. E. Van egy differenciálható függvény F (Z), például, hogy F „(Z) == f (z) az összes ze D. szerint theo-Reme 1, a függvény F (z) szabályos a régióban d, és ezért annak származéka a szokásos-d funkciót, azaz a. e. a funkció / (Z) == == F „(Z) szabályos a régióban D.
Tétel 4 (az első Veyerpgtrassa tétel). Legyen funktsiifn [Z) (n = 1, 2) szabályos D, és hagyja, hogy a sorozat
egységesen minden zárt régióban fekvő D. Ezután a funkció / (Z) szabályos D.
Bizonyítás. Let Zo - roundups tetszőleges pont-sti D. Tekintsük a kör K: LZ-Zol <б, лежащий вместе со своей границей в области D. По условию, ряд (9) равномерно сходится в К, а значит, и в К. Кроме того, функции /n(z) (п == = 1, 2. ) регулярны и, следовательно, непрерывны в К. По-этому функция /(z) непрерывна в К как сумма равномерно схо-дящегося ряда, составленного из непрерывных функций.
Let „f - bármilyen zárt kontúr fekvő kör K. integrálása távon távú konvergál egyenletesen, hogy számos (9), megkapjuk
F / (Z) dz = I J / „(Z) dz. "= I"
Szerint a Cauchy-féle integráltétel / n (z) Riz == 0 (n = 1, 2) és a,
T v ennélfogva) / (Z) dz = 0. A tétel Morera funkció
/ (Z) jelentése a rendszeres K és különösen Zy. Mivel Zo-tetszőleges helyen a területen D, a funkció / (Z) szabályos a régióban D. tétel.
94 GL. II. Szabályos vonások
5. tétel (második Weierstrass tétel). A körülmények az előző tétel sorozat (9) lehet differenciálódás-ment Terminusonként tetszőleges számú alkalommal. Kaptunk ebben a sorozatban egyenletesen konvergálnak minden zárt régióban D fekvő oblastiD.
Korlátozzuk magunkat szövegében a második tétel Weyer Straße (igazolás tartalmazza, például a [11].).
Egyéb megfelelő rendszerességgel vonatkozó feltételeket integrálok függően paraméterek adottak lesznek a 15. §.
Összefoglalva, 3. o. Röviden összefoglalja az alapvető tulajdonságait rendszeres feladatokat. Megjegyezzük, hogy együtt a „rendszeres jellemzője” a szakirodalomban alkalmazott egyéb equi vegyértékű feltételek:
Criteria (szükséges és elégséges feltételei> rendszeresen-STI f (z) D:
1) differenciálható függvény / (Z) a D;
2) Cauchy - Riemann.
Olyan rendszerességgel állapotban funkció / (Z) a D ad tétel Morera és az első Weierstrass tétel. Tulajdonságok rendszeres funkciók:
1) az összeg, különbség, a termék rendszeres funkciók / (Z) és g „(Z), valamint ezek hányadosát (G (z) ^ O) szuperpozíció és NE-lyayutsya rendszeres funkciók;
2) rendszeres funkció végtelenül differenciálható;
3) a rendszeres funkciója a szerves Theo-Rem Cauchy és Cauchy beépített képlet;
4) primitív egyszeresen kapcsolt terület rendszeres funkció-CIÓ rendszeres.
4. Néhány lebontási eljárásokkal hatványsorba. Minden funkció / (z) szabályos kör | z-a |<р, разлагается в сходящийся в этом круге (см. следствие 3 из теоремы 1) сте-пенной ряд