1 függvények a komplex változó
Fordítási problémák hallgatók számára 3. év
A.G.Alenitsyn, A.S.Blagoveschensky, M.A.Lyalinov, V.V.Suhanov
St.-Petersburg State University Fizika Kar
Ez a gyűjtemény a problémák és feladatok burkolóanyag gyakorlati órák a matematikai fizika. Ez összefoglalja a szerzett tapasztalatokat alkalmazottai által a Department of Mathematics és matematikai fizika, fizika Osztálya a Budapesti Műszaki Egyetem. Mintegy fele a gyűjtemény feladatok nem eredeti, akkor veszik a híres könyv problémák (L.I.Volkovyskogo, G.L.Luntsa és I.G.Aramanovicha; N.M.Gyuntera és R.O.Kuzmina; M.A.Evgrafova; V.S.Vladimirova), linkek, amelyek nem jelennek meg. Szintén használt anyagokat a kézikönyv „Irányelvek gyakorlati képzés, amelynek mértéke a matematikai fizika”, írta a tanszék munkatársai. Válogatás a feladatok és azok sorrendjét megfelel során „Methods matematikai fizika”, olvasható a fizika tanszék a University of Budapest az első és a második félévben a harmadik évben.
A gyűjtemény célja a diákok és a tanárok a fizikai és fizikai-matematikai karok egyetemek és más felsőoktatási intézmények.
1.1 Egyértelmű szabványos funkcióit
1.1.1 Komplex számok
Komplex szám - egy pár valós számok (a, b). Rögzítése egy komplex szám z algebrai formában: z = a + bi, ahol egy - a valós része. b - a képzetes rész a Z, I - imaginárius egység. Szabványos jelölése: a = Re Z, b = Im z. Két komplex szám egyenlő, ha azok, illetve a valós és képzetes része. Egy komplex szám egy nulla képzetes rész, azaz a Egy + 0i, azonosították a valós szám.
Összeadja a komplex számok Z 1 = 1 + b 1 i és z 2 = a 2 + b 2 i a következő képlet adja Z 1 + Z 2 = (1 + 2) + (b 1 + b 2) i, a terméket - a képlet Z 1 Z 2 = (a 1 a 2 - b 1, b 2) + (a 1 b 2 + b 1 a 2) i. Különösen, i 2 = -1.
Egy komplex szám z = a + bi szám egy - bi konjugátuma. ez jelöli z.
A modul egy komplex szám: | z | 2 = a 2 + b ≥ 0. Nyilvánvaló, Z · z = | z | 2 = a 2 + b 2. Osszuk
számot a száma Z 1 Z 2 végezzük, hogy megszorozzuk a számláló és a nevező a frakció Z 1 száma,
Egy komplex szám z = x + iy van ábrázolva a síkban x, y koordinátájú pontot koordinátái (x, y). A távolság a két pont Z és Z értéke 0 | z -z 0 |. Komplex szám z = x + iy össze lehet hasonlítani a sugár vektor egy pont (x, y). A bezárt szög pozitív fél-tengelye Ox és a sugár vektor neve argumentum egy komplex szám. Amikor a visszaszámlálás óramutató járásával ellentétes irányba szög pozitív az óramutató járásával megegyező irányba - negatív. Az érv egy komplex szám nem egyenlő nulla, határozzuk meg akár egy egész számú teljes fordulatok körül eredetű, azaz, 2πn, n Z.
A érve Z jelöléseket arg z.
1.20. Ahhoz, hogy vizsgálja meg a függvények viselkedését sin z, tg z, sh z y → ± ∞.
1.1.2 feltételek Cauchy-Riemann-
Szomszédsági a z 0 Z síkban nevezzük kör egy központ ezen a ponton. A f (Z), amelynek egy származékát a szomszédságában z 0. úgynevezett reguláris. vagy Holomorf. funkció ezen a környéken.
Legyen f (z) = u (x, y) + IV (x, y), ahol u (x, y) és v (x, y) - differenciálható valós függvény a pont szomszédságában D Z 0. szabályosságát f ( z) a D szükséges és elégséges, hogy az e
szomszédságában teljesítik a feltételeket, a Cauchy-Riemann-egyenletek.
Feltételek () felírható más formában. Ha figyelembe vesszük, hogy X = (z + z) / 2, y = (z - z) / (2i), és helyettesíti ezeket a kifejezéseket u (x, y) + IV (x, y), megkapjuk a függvény f, ami függ, általában, a Z és Z. Cauchy-Riemann feltételek azonosak, hogy a tény, f független Z, azaz a hogy
A pontok halmaza a síkban nevezzük nyitva. ha minden pont lehet állítani, hogy körülveszik a környéken, minden ponton, amely tartozik a készlet. Nyílt halmaz nevezzük csatlakoztatott. ha két olyan pont lehet összekötni egy törött, amelynek minden pontja tartozik a készlet. Nyitott kapcsolatban set nevezik a domain. Ha a terület belsejében egy kör, akkor azt mondják, hogy korlátos. egyébként - végtelen. vagy korlátlan. Funkció, amely a származékos minden pontján a régió egy reguláris (vagy Holomorf) ebben a régióban.
1.21. A Cauchy-Riemann megvizsgálja szabályosságát funkciók: a) Z 2; b) Z-1; a) Z | z |; g) x 2 - y 2 - 3 2 y + y 3 + i (2xy + x 3 - 3xy 2);
d) E Z; e) cos z + (cos z).
1.22. Annak bizonyítására, Tétel: Legyen a függvény f (z) szabályos a régióban D, fekvő felső felében Im z> 0, akkor az f (z) szabályos D. D szimmetrikus a valós tengelyen.
1.23. Bizonyítsuk képlet:
f 0 (Z) = ∂ ∂ u x - i ∂ ∂ u y = ∂ ∂ y v + i ∂ ∂ x v.
1.24. Tegyük fel, hogy az f (z) szabályos a régióban D és derivált nulla minden pontján a területen. Igazoljuk, hogy f (z) ≡ const.
1.25. Vedd Cauchy-Riemann körülmények poláris koordinátákat.
1.26. Legyen a függvény f (z) szabályos D. Bizonyítsuk be, hogy ha az egyik funkció:
u (x, y) = Re f (z), v (x, y) = Im f (Z),
ρ (x, y) = | f (z) |, φ (x, y) = arg f (Z),
Azt állítja állandó a D-értékek, és az f (z) ≡ const.
Legyen egy igazi része u (x, y) egy szabályos f (z). Ismerve u (x, y), megtalálja v (x, y) - a képzetes részét a funkciót, így a tényleges f (z). Azaz, értelmében KoshiRimana feltételek, a differenciál függvény v (x, y) egyenlő Dv (x, y) = -u 0 y (x, y) dx + u 0 X (x, y) dy. Find funkció
Most f (z) ismert az intervallum a valós tengelyének: f (x) ≡ u (x, 0) + i V (x, 0). Ez az identitás benyúlik a komplex egyszerű csere X-Z, azaz a f (z) = u (Z, 0) + i v (z, 0).
Megjegyzés. Ahhoz, hogy működjön u (x, y) valós vagy képzelt része egy rendszeres funkció D, szükséges és elégséges, hogy van egy harmonikus. azaz kétszer folytonosan differenciálható és kielégítő Laplace-egyenlet 00 u xx + u yy = 00 0.
A problémák 1,27-1,30 helyreállítása rendszeres f (Z) egy előre meghatározott funkció:
1.27. a) Re f = x 2 - y 2 + x, f (0) = 0; b) Im f = x 2 + x y 2.
1.28. Re f = e x (x cos y - y sin y) + 2 sin x sh y + x 3 - 3xy 2 + y. 1.29. Im f = ln (x 2 + y 2) + x - 2y. 1.30. | F | = (X 2 + y 2) e x.
A problémát a 1,31 és 1,32 meghatározni, hogy az említett típusú harmonikus függvények is létezik, és fennállása esetén - keressük őket, valamint a megfelelő szokásos f (z) = u + iv.
1.31. a) u = ψ (x); b) u = ψ (ax + by), ahol a és b - valós számok.
1.32. a) u = ψ (x 2 + y 2); b) u = ψ (x y); a) u = ψ (x 2 + y).
1.33. Megtalálja a rendszeres funkciók, aki megtartja Po mentén sorban a család
állni érték: valós része (1) vagy a modul (2), vagy érvelés (3): a) y = Cx; b) x 2 + y 2 = Cx; a) xy = C.
1.1.3 Stepennye”soraiban. Taylor-sor
A teljesítmény sorozat formájában P c n (z - a) n. Minden hatványsor sugara konvergencia
R és a kör konvergencia | z - a | Összege hatványsorba S (Z) egy szabályos függvény a körben a konvergencia. A körön belül konvergencia hatványsorba lehet integrált Terminusonként és differenciált Terminusonként. A sugara konvergencia hatványsorok megtalálható a képletek Rendszeres a kör | z - a | és ez a bomlás egyedülálló. Tény, hogy a sugár konvergenciájának Taylor-sor egyenlő a távolság a lényeg, hogy a legközelebbi szinguláris pont funkciót (lásd. Még a „Laurent-sor és az egyes pontokat a funkció”). A bővítés a hatványsor gyakran hasznos a következő „alap” bővítése (A kör konvergencia ilyen): = 1 + z + z 2 +. + Z n +.Kapcsolódó cikkek