gyűrűs csoportok
A több elem a G csoport nevezzük generáló, ha G bezárását több, viszonylag csoport műveletet.
A csoport által generált egyik eleme, az úgynevezett gyűrűs.
Következmény 2.3. Bármely csoport tartalmaz egy ciklusos alcsoport.
Bizonyítás. Legyen egy elemét egy csoport G. A beállított ciklikus.
Az, hogy a gyűrűs alcsoport által generált az elem egy. Ez az úgynevezett érdekében az elem.
Az ingatlan 2.8. Amennyiben egy tag sorrendben n. akkor egy n = e.
Bizonyítás. Tekintsük a sorrendben. Mivel a tagok száma a sorozatban végtelen, és van egy véges számú lehetőség az elem egy bizonyos fokú, annak érdekében, hogy megfeleljen az azonos tagok. Let. ahol k Az, hogy minden elemét elosztja a sorrendben a csoport tehát a | G | = E minden egyes elemre csoport. Következmény 2.4. Az, hogy a csoport osztható a sorrendben bármely elemének a csoport. Tétel 2.4 (a gyűrűs csoportok) I. minden pozitív egész n, létezik egy gyűrűs csoport n rend. II. Ciklikus csoportok azonos sorrendben izomorfak. III. A gyűrűs csoport izomorf végtelen sorrendben egész számok. IV. Bármely alcsoportja egy ciklusos csoport gyűrűs. V. Minden egyes osztó m n száma (és csak azokat) ciklusos csoport érdekében n egy egyedi rendű alcsoport m. Bizonyítás. A készlet komplex gyökerei fokú n 1, tekintettel a szorzás egy ciklusos csoportot képez a rend n. Ez azt bizonyítja, az első állítást. Tegyük fel, a ciklusos csoport G n-edrendű által generált egy elem a. H. ciklusos csoport ugyanabban a sorrendben, által generált elem b. Levelezés egy-egy, és megőrzi a műveletet. A második állítás bizonyított A gyűrűs csoport végtelen érdekében, által generált egy elem egy, elemekből áll. Levelezés egy-egy, és megőrzi a műveletet. Így a harmadik állítást. Legyen H - alcsoportja a ciklusos csoport G. által generált az elem egy. Az elemek a H a mértékét a. Úgy döntünk, egy elem H, amely a legkisebb abszolút érték nulla fok a. Hagyja ezt az elemet. Megmutatjuk, hogy ez az elem egy generátor az alcsoport H. Tekintsünk egy tetszőleges elemét H. H tartalmazza a termék minden r. Úgy döntünk, r egyenlő a hányados k j. akkor a k-RJ a fennmaradó részlege k által j, és így kevésbé j. Mivel H olyan elemei, amelyek nem nulla fokos egy, kevesebb, mint j. A k-rj = 0, és. A negyedik állítás. Tegyük fel, a ciklusos csoport G n-edrendű által generált egy elem a. Az alcsoport által generált elem. Ez a rend m. Tekintsük az alcsoport H rend m. Úgy döntünk, egy elem H, amely a legkisebb abszolút érték nulla fok a. Hagyja ezt az elemet. Megmutatjuk, hogy j = n / m. Az elem tartozik H. Ezért a száma nem nulla formában RJ-nv abszolút értéke nem kisebb, mint j. ami csak akkor lehetséges, ha n osztható j nincs maradék. Az alcsoport keletkezik. Azt érdekében n / J = m. Következésképpen, J = n / m. A generátor egy alcsoport határozza egyedileg annak érdekében, az ötödik állítást.
Kapcsolódó cikkek