Ciklikus csoportok és alcsoportok és tulajdonságaik
Definíció. Let - csoport és. A sorrendben egy elem - az a legkisebb pozitív egész szám úgy, hogy. Ha ez nem létezik, hogy a definíció szerint végtelen érdekében. Ciklusos csoport. ha magában foglalja az összes hatáskörét egyetlen elem, azaz a . Úgy hívják generáló elem.
Példa. A csoport jelentése gyűrűs, és egy tetszőleges primitív gyök egy generáló elem.
A csoport jelentése ciklikus a elemek generálásához.
Elfogadása [Tulajdonságok gyűrűs csoportok.]
Ha - egy végtelen ciklusos csoport, amely generátor. minden fokozatban különbözőek.
Ha - egy véges ciklikus csoport érdekében a termelő. majd - egy listát az összes különböző elemeit.
Elem A ciklusos csoport generál, ha, és csak akkor, ha.
Két gyűrűs csoportok izomorfak, akkor és csak akkor, ha van ugyanabban a sorrendben.
Bármely alcsoportjának a ciklusos csoport egy ciklusos csoport. Ha. Ezután, mint egy mag lehet választani. ahol - a legkisebb pozitív egész szám, az ingatlan.
Ha. Az index osztja.
Minden egyes osztója a sorrendben a ciklusos csoport egy egyedi rendű alcsoport.
Tegyük fel - ciklikus csoport érdekében néhány elsődleges. Ekkor minden két alcsoportra és vagy vagy.
Definíció. Let - egy tetszőleges részhalmaza a csoportban. Egy sor nevezzük rendszer generátorok a csoport. Ha bármelyik elem felírható. hol. .
Példa. Rendszer generátorok a csoport a készlet minden átültetések.
Igazoljuk, hogy a helyettesítés és alkot rendszert generátorok.
Abban a csoportban, még permutáció, ha lehet választani egy olyan rendszer generátor, amely az összes ciklus hossza.