Ortogonális görbe vonalú koordináták
1.12. Ortogonális görbe vonalú koordináták
Leírás geometriájának tárgyak görbe vonalú koordináták elég nehéz. A gyakorlatban a legtöbb esetben használja ortogonális görbe vonalú koordinátákat. A derékszögű koordinátarendszerben, a koordináta vonalak különböző családok kölcsönösen merőleges. Egymásra merőleges és érintőleges vektorok alapján, mivel azok irányul érintőlegesen a megfelelő koordináta vonalak.
Az ortogonális görbe vonalú koordinátáit az érintő vektorok alapján vektorok és a megfelelő kölcsönös alapján ugyanabba az irányba, de a hossza általában különböző; off-diagonális elemei a metrikus tenzor nulla: .. vagyis amikor
Rész Christoffel szimbólumok egy ortogonális görbevonalú koordináta rendszerben nulla, és, következésképpen, sok képletű egyszerűsített.
Egy hengeres koordinátarendszerben.
Példaként tekintsük a hengeres koordinátarendszerben. Rendszer paraméterek hengeres polársugárként és poláris szög a függőleges tengely hengeres koordinátákat kapcsolatos derékszögű koordinátákkal egyenletek
Fordított függőségek az űrlap
A Jacobi mátrix a átmenet Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszer, hogy a hengeres koordinátarendszer egyenlő:
A komponensek a metrikus tenzor az új koordinátarendszerben képlet határozza meg
ahol - Kronecker szimbólumok (1.10.7). A hengeres koordinátarendszer ortogonális komponenst a metrikus tenzor és a nem nulla Christoffel szimbólumok benne vannak
Amint látható, hengeres koordinátákat, az első és a harmadik hossza a tangens vektorok egyenlő egyik alapja, és a második vektor hossza megfelel a poláris szög.
Vektor funkció hengeres koordinátákat kell kifejezni útján vektorok tangens és a kölcsönös bázisok a következők:
A részleges származékok alapján vektorok az érintő (1.10.14) hengeres koordináták
A részleges származékok alapján vektorok kölcsönös (1.10.25) hengeres koordináták
Látjuk, hogy néhány, a tangens vektorok és kölcsönös bázisok a hengeres koordinátarendszer változott az átmenet az egyik pontot a térben a másikba. Mindez általában megnehezíti a leírás geometriai objektumok, de bizonyos különleges esetekben, a használata íves rendszerek indokolt. Formula (1.10.21) a származékot a vektor funkció egy hengeres koordinátarendszerben van formájában
Példa görbe.
Vegyünk például egy vektor leíró függvény egy hengeres spirális tekercs egy hengeres koordinátarendszerben. Hagyja, hogy a hélix tengelye párhuzamos és áthalad a származási, sugarát, és a pályán egyenlő h. Mi kell körözésbe funkcióit koordinátái:
Tangens hélix összhangban (1.10.20) ismertet egy vektor funkció
Derivative vektor spirális függvényt egyenlet szerint (1.12.3) van
Minden pontjában a hélix arra irányul, hogy a tengelye és a hossza.
A továbbiakban az építési görbék és felületek, fogjuk használni egy Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszer, mint a legkényelmesebb a kiszámításához származékok vektor függvények az euklideszi térben. Mi kell használni a felirat, mint a derékszögű koordináta-rendszerben a kovariáns és kontravariáns alkatrészek egyenlő.