Elemei a matematikai logika, képletek matematikai logika
Révén logikai műveleteket a megnyilatkozásait, megadott megnyilatkozások lehet építeni a különböző komplex megnyilatkozás. Ebben az esetben a műveletek sorrendjét jelzi zárójelben. Például három megnyilvánulások x, y, z lehet kialakítani, például egy ilyen állítás
Ez egy diszjunkcióját együttállása x, y és megnyilatkozás z.
Bármilyen komplex megnyilatkozás, amely lehet beszerezni elemi állítások alkalmazásával logikai tagadás műveletek összefüggésben, diszjunkció, vonatkozások és az egyenértékűség úgynevezett Boole-formulával. A képletek az algebra logika fogjuk jelölni nagy betűk az ábécé A, B, C
Ahhoz, hogy egyszerűsítse a jelölést elfogadta számos megállapodást. Rögzítők lehet hagyni, azért, hogy az alábbi eljárással: egy összefüggésben hajtjuk végre, mielőtt az összes egyéb műveletek, a szétválasztás előtt végezzük a vonatkozások és az egyenértékűség. Ha a fenti általános jele a tagadás, a konzolok vannak hagyva is.
A logikai érték logikai formula teljesen határozza meg a logikai értéke az azt alkotó elemi kijelentéseket. Például a logikai értéke x általános képletű y ®z ha x = 1, y = 1, z = 0, hogy hamis, azaz xy ®z = 0.
Minden lehetséges logikai értékek, képletek értékétől függően alkotó elemi kijelentések nevezhetők teljesen útján igazság táblázat.
Például, a X képletű y ®y igazság táblázat táblázatban megadott. 6.
Az igazság táblázat a X képletű y ®y
Könnyen belátható, hogy ha a formula n elemi állítások, tart 2n értékek álló nullák és egyesek vagy ami ugyanaz, a táblázat tartalmazza 2n sort.
Tekintsük a koncepció logikai ravnosilnostiformul - két képlet Boole A és B akkor ekvivalens, ha elviszik az azonos logikai értékek minden értékrend a képletek az elemi kijelentések. A egyenértékűség képletek jellemzően Jele °. A rögzítés és ° B azt jelenti, hogy a képlet az A és B egyenértékű.
Például, a megfelelője a képletű
A képlet A jelentése azonosan igaz (vagy tautológiánál) ha be van állítva az 1 minden értékére annak tag változók.
Például, a képlet igaz azonosak
Formula A jelentése azonosan hamis képlet. ha be van állítva a 0 minden értékekkel tagváltozóival.
Például, azonosan hamis képletű
Egyértelmű, hogy az arány a egyenértékűség reflexív, szimmetrikus, és tranzitív. (attitűd
két tárgy között egy
b nevezzük reflexív, ha a
a. szimmetrikus, ha a
a, és tranzitív, ha egy
ott van a következő összefüggés a fogalmak az egyenértékűség és az egyenértékűség: ha képletű A és B egyenértékű, a képlet A „B - tautológiát, és fordítva, ha a általános képletű A” B - tautológia képletű A és B egyenértékű.
Kritikus egyenértékűségének hogy a matematikai logika lehet három csoportba sorolhatók.
I. Alapvető egyenértékű:
2. x Úx ºx idempotencia törvényeket.
4. x Úés º u.
5. x l ° l.
7. - a törvény ellentmondás.
8. - a törvény a kizárt közepén.
9. - leépülési tagadás.
11. X Ú (y x) º x - abszorpció törvényeket.
II. Ekvivalencia kifejező egy logikai műveleteket a másik:
Ebből a csoportból equipollences következik, hogy minden képlet a Boole egyenértékű lehet helyébe a képletben az S, amely csak két logikai művelet: egy együtt vagy diszjunkció, és negáció, és a tagadás.
További kivételt logikai műveleteket lehetetlen. Tehát, ha csak használni együtt, van egy ilyen képlet, mint a tagadását x nem lehet kifejezni egy együttes működését.
Vannak azonban olyan műveletek, amelyek lehet kifejezni mind az öt logikai műveletek, amelyeket eddig használt. Az ilyen művelet, például, a művelet „Vonalkód Schaeffer.” Ezt a műveletet jelöli x | y, és határozza meg az igazság táblázat (7. táblázat).
Az igazság tábla a művelet „Vonalkód Schaeffer”
Nyilvánvaló, hogy vannak azonos:
Ebből a két equipollences az következik, hogy minden logikai képlet helyettesíthető egyenértékű képletű, amely csak a művelet „Vonalkód Schaeffer.”
III. Egyenértékűsége kifejező alaptörvényeiben hogy a matematikai logika:
1. huºuh - kommutativitás kötőszó.
2. x Úy ºy ÚX - kommutativitás diszjunkciót.
3. x (y z) º (X y) z - asszociativitása összefüggésben.
4. x Ú(y Úz) º (X Úy) Úz - asszociativitás diszjunkcióját.
5. x (y Úz) º (xy) Ú (x z) - disztributivitás összefüggésben viszonylag diszjunkcióját.
6. x Ú (y z) º (XÚy) (x Úz) - disztributivitás viszonylag diszjunkcióját összefüggésben.
A törvények az egyenértékűség I. II és III része lehet az általános képletű csoportok, vagy általános képletű s helyett egyenértékű igénypontok. Ilyen konverzió alapuló képlet törvények equipollences nevű equipotens transzformációk.
Egyenértékű transzformációk igazolására használt equipollences, a vezetés a képleteket adott típusú, hogy egyszerűsítse a képleteket.
Képlet A minősül egyenértékűnek könnyebben képletű B., ha kevesebb betűk kevesebb logikai műveleteket. Ha ezt a műveletet rendszerint helyébe hallgatólagosan és egyenértékűség diszjunkciót és együtt, és tagadás kapcsolódnak elemi kijelentések.