Root szubpaces
A lineáris transzformáció kernelét a k magassági alaptáblának nevezik és jelölik. A gyökér alrend csak akkor különbözik a nulla vektortól, ha a jellemző polinom gyökere. Egy komplex számok egy mezője fölötti lineáris tér a gyökér alatti területek közvetlen összegeként oszlik (1.6. Az alábbiakban figyelembe vesszük annak a lehetőségét, hogy a gyökér alagsorok további részeit az invariáns szubszektorok közvetlen összegeként osztják fel. Azt mondjuk, hogy a vektor magassága k. if. Számos tulajdonságot adunk meg a root szubpaces-nak.
Tulajdonság 1.5. Ha. akkor.
Bizonyítás. Ha. akkor. és, azt jelenti. amely egyenértékű a befogadással. Ez bekapcsolja a készüléket. ezt kombinálva az inverz befogadással (1.4. Tulajdonság), akkor a szükséges állítást állítjuk elő.
A gyökérterület minimális megsemmisítő polinomiája a polinom részese. és ezért egyenlő. hol. A gyökértérfogat meghatározása egyenlőséget jelent.
Tulajdon 1.6. Ha a méretek a gyökér altér megegyezik a mértéke a minimális polinomja altér, a gyökér tér nem képviselheti egy direkt összege változatlan altereinek kisebb méretben.
Bizonyítás. Legyen k a gyökér alpéldányának minimális polinomja, és hagyja, hogy a gyökér alköz a kisebb dimenzióknak megfelelő invariáns szubpozitumok közvetlen összege legyen. Legyen alap. hanem egy alap. A vektorok rendszere alapja, ezért a tér minimális megsemmisítő polinomiája megegyezik e vektorok minimális megsemmisítő polinomjainak legkisebb közös többszöröseivel. Következésképpen a vektorok között van olyan vektor, amelynek minimális megsemmisítő polinomja megegyezik. Az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy ez egy vektor. A vektorok rendszere lineárisan független, és a szubtér inverziójának tulajdonítható. Mivel a k rendszerben k vektorok vannak, a dimenzió nem kisebb, mint k. amely ellentmond a feltételezésnek.