Funkciók, min. Pont, max
Keressük meg a f (x) = x 3 - 3x 2 - 9x + 31 függvény legkisebb értékét a [-1; 4].
Emlékezzünk arra, hogy bármelyik függvény a legkisebb vagy legnagyobb értéket veszi fel, ha a származéka nulla vagy nem létezik.
Megtaláljuk az y 'származékot (x) és egyenlítjük ki nullára.
y '(x) = (x 3 -3x 2 -9x + 31)' = 3x2 - 6x -9 - létezik minden x esetén.
3: x 2 - 2x - 3 = 0 értékkel csökkentjük
D = b2-4ac, D = (-2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16
x1 = -1, x2 = 3 - ezeknél a pontokban az y (x) függvény a legkisebb vagy legnagyobb értéket veszi figyelembe.
Ha a származék nulla, akkor a függvény csökken.
Ha a származék nullánál nagyobb, akkor a függvény növekszik.
Nézzük meg a származék jeleit.
X esetén<-1 y ´ (x)>0, az y (x) függvény növekszik
-1-nél X> 3 y '(x)> 0 esetén az y (x) függvény növekszik A [-1; 4], akkor a függvény csökken az x = 3 pontig, és ezután növekszik, tehát a legkisebb érték a 3. pontban. Az x = 3 függvényt egy függvénybe helyezzük: y (3) = 3 3 - 3 * 3 2 - 9 * 3 + 31 = 27-27-27 + 31 = 4, ez a válasz. Keressük meg a y = 4cosx + 13x + 9 függvény legkisebb értékét a [0; 3P / 2]. Emlékezzünk arra, hogy bármelyik függvény a legkisebb vagy legnagyobb értéket veszi fel, ha a származéka nulla vagy nem létezik. Megtaláljuk az y 'származékot (x). y '(x) = (4cosx + 13x + 9)' = -4szinx + 13 Ne feledje, hogy y '(x)> 0 minden x-hez, mivel -4sinx + 13> 0 ⇔ -4sinx<-13 ⇔ 4sinx<13, sinx<13:4, sinx<3,25 как мы знаем, это выполнимо всегда, так как sinx≤1. Ezt a következtetést tesszük: mivel az y '(x)> 0 függvény x∈ [0; 3P / 2]. akkor a függvény növekszik ezen a szegmensen, és a legkisebb érték a szegmens legkisebb x-je lesz - ez x = 0. Helyettesítjük x = 0 -ot y (x) -re, és kapjuk y (x) = 4cos * 0 + 13 * 0 + 9 = 13. Keressük meg az y = ln (7x) -7x + 7 függvény legnagyobb értékét az [1/14; 5/14]. Az y = ln (7x) -7x + 7 függvény legnagyobb értékének meghatározása az [1/14; 5/14], megtaláljuk az y '(x) függvény deriváltját: (7x) '- 7 + 0 = 1 / 7x * 7 - 7 = 1 / x - 7. Az (f (g (x))) '= f' (g (x)) * g '(x) képletet használjuk. A derivált nullával egyenlő a maximális pont megtalálásához: Megjegyezzük, hogy x ∈ [1/14; 1/7] az y '(x)> 0, és x ∈ [1/7; 5/14] az y 'származékot (x)<0, то есть до точки х=1/7 функция возрастает, а после - убывает. Ezért az y (x) függvény a legnagyobb értéket veszi fel az x = 1/7 ponton. Találjuk meg: (1/7) = ln (7 * 1/7) - 7 * 1/7 + 7 = ln1 - 1 + 7 = 0-1 + 7 = 6. Keressük meg a y = (x 2 -7x + 7) * e x-5 függvény legkisebb értékét a [4; 6]. Emlékezzünk arra, hogy bármelyik függvény a legkisebb vagy legnagyobb értéket veszi fel, ha a származéka nulla vagy nem létezik. Megtaláljuk az y 'származékot (x) és egyenlítjük ki nullára. y „(x) = (2x-7) * E X-5 + (x 2 -7x + 7) * E X-5 = e x-5 * (x 2 -5x) = e x-5 * X * (X-5). Látjuk, hogy a származék nulla az x1 = 0 és x2 = 5 számára Megjegyezzük, hogy x ∈ [4; 5) az y 'származék (x)<0 и значит функция убывает x ∈ (5; 6] az y '(x)> 0 származékot, és így a függvény növekszik Vagyis, ha X = 5 y '(x) változik jelet - a +, akkor az x = 5, a legalacsonyabb érték: y (5) = (5 2 - 7 * 5 + 7) * e = 5-5 (25 - 35 + 7) * e 0 = -3 * 1 = -3. Keresse meg az y = log4 (-3 + 4x-x2) + 7 függvény legnagyobb pontját. A függvény y = log 4 (-3 + 4-x 2) + 7 növekszik, mivel a logaritmus alapja nagyobb, mint 1. Ezért a maximális pont az a pont, ahol a kifejezés a logaritmus megteszi a maximális értéket. Elemezzük a -х 2 + 4х-3 kifejezést. Megjegyezzük, hogy ennek a függvénynek a grafikája egy parabola, amelynek ágai lefelé irányulnak, és így a maximális érték a parabola csúcsán lesz. Továbbra is, hogy megtalálják az abszcissza a parabola csúcsa X0 = -B / 2a = 4/2 * (- 1) = 2. Ha x0 = 2 expressziót a logaritmusát veszi a legnagyobb érték, és így Y = log 4 (-3 + 4-x 2) 7 is.Kapcsolódó cikkek