Végtelen funkciók összehasonlítása
enged # 945; (x) és # 946; (x) két infinitezimális függvény, mint x → x0 és # 946; (x) nem nulla az x0 szomszédságában (kivéve a legpontosabb 0-t). Ha a
az # 945; (x) azt mondják, hogy végtelenül kicsi, magasabb rendű, mint # 946; (x). Ebben az esetben írj # 945; (x) = o (# 946; (x)) és mondd # 945; (x) o-kicsi # 946; (x).
Ha a
= A ≠ 0 (A szám),
akkor végtelenül # 945; (x) és # 946; (x) ugyanaz a kicsi sorrend. Ebben az esetben írj # 945; (x) = O (# 946; (x)), (# 945; (x) O-nagy a # 946; (x).
Ha a
az # 945; (x) alacsonyabb rendű infinitezimálisnak nevezik # 946; (x).
Ha a
az # 945; (x) és # 946; (x) azt mondják, hogy egyenértékű az infinitezimális, # 945; (x)
# 946; (x).
Bizonyos esetekben nem elég tudni, hogy a két infinitesimál közül az egyik végtelenül alacsonyabb, mint a másik. Azt is értékeljük, mennyire magas ez a rend. Ezért a következő szabály kerül bevezetésre: if
az # 945; (x) végtelenül kicsi az n-edik sorrendben # 946; (x).
Egy függvény folyamatossága egy ponton. A függvények tulajdonságai folyamatosan egy ponton.
Definíció 1. Egy függvény egy ponton folyamatosnak mondható. ha megfelel a következő feltételeknek:
1) egy pontban van meghatározva. azaz ott
2) a függvény véges egyoldalú határai balra és jobbra;
3) ezek a korlátok megegyeznek a ponton lévő funkció értékével. azaz
Fogalommeghatározás 2. Egy függvény egy ponton folyamatosnak mondható. ha ez a pont definiálva van, és az argumentum infinitezimális növekménye a függvény infinitezimális növekményének felel meg.
Az 1. és 2. meghatározás egyenértékű.
Olyan függvények tulajdonságai, amelyek egy ponton folyamatosak
1. Ha az u függvények egy ponton folyamatosak. majd összegüket. a termék és a hányados (az állapot alatt) olyan funkciók, amelyek folyamatosan egy ponton vannak.
2. Ha a függvény folyamatos az u ponton. akkor létezik egy pont szomszédsága. amelyben.
Ennek a tulajdonságnak a bizonyítéka azon a tényen alapul, hogy az argumentum kis mértékű növelése esetén a szomszédos területek funkciójának önkényesen kis növekedése keletkezik, amely nem változik.
3. Ha a funkció egy ponton folyamatos. és a függvény egy ponton folyamatos. akkor az összetett függvény egy ponton folyamatos. A bizonyíték az, hogy az argumentum egy kis növekménye önkényesen kis növekménynek felel meg. ami viszont a funkció folytonosságát önkényesen kis növekedéshez vezet.
Az ingatlan írható :,
Ie egy folyamatos funkció jele mellett a határig terjedhet.
A funkciók megszakadásának pontjai.
Ha az f (x) függvény nem folyamatos az x = a ponton. akkor azt mondjuk, hogy f (x) ebben a szakaszban nem folytatódik. Az 1. ábrán vázlatosan ábrázoljuk a négy függvény grafikonját, amelyek közül kettő folyamatosan x = a. de két rés van.