Tenzorok, egységes térelmélet
Mi a tenzor? Miért vannak a tenzorok a matematikai alapelemek a fizikában?
A "tenzor" szó még mindig nagyon sok fizikusnak és különösen a nem-fizikusoknak, különösen egy kevés érthető matematikai absztrakciónak. És ez annak ellenére is, hogy maguk a tenzorokat több mint egy évszázadban használják a fizikában. Mi a tenzor? A kérdésre adott válasz rendkívül egyszerű: olyan számkészletek gyűjteménye, amelyeket egy bizonyos fizikai objektumnak megfelelően helyeznek el. elszigetelt a valós világ többi részétől. mindegyik mérési eljárást (vagyis azáltal, hogy mindegyik tárgyat egyszerre, vagy annak egyéni tulajdonságait, kiválasztott mérlegekkel összehasonlítjuk) külön-külön, és minden ilyen elfogadható mérési eljárást egyszerre. A tenzorok különböznek az ilyen készletekben lévő számok számában és azokban a szabályokban, amelyek értéküket különböző koordináta-rendszerekre kapcsolják.
Ezek a szabályok egyszerűek, a tenzorok besorolása is, de ez az egyszerűség megköveteli a magyarázó példák magyarázatait.
Kezdjük egy egydimenziós árterületet. példaként szolgál a relativitás fogalmának megvitatásában. Válasszunk egy megengedett két valutát (két koordináta-rendszert) a rubelt és a dollárt, és a fizikai objektum egy tekercs.
Az első, legegyszerűbb tenzor, amely ilyen térben jelenik meg, az 1. skalár, amely fizikai tárgyak olyan tulajdonságához tartozik, mint a mennyiség: 1 tekercs. Az ár mérési egysége (rubel vagy dollár) kiválasztásával ez a tulajdonság nem függ, invariáns és dimenzió nélküli szám. A skalárt nullpontos tenzornak is nevezik. A skalár tetszőleges numerikus értéket vehet fel - 2, 3, 1.5 (tekercs). Megjegyezzük, hogy bár a skalár dimenzió, de néhány csökevényes nyomokban a dimenzió van - kenyér eltérnek kolbász, például, bár az árak tekintetében, azok tökéletesen kompatibilisek. Beszélhet a tekercsek és a kolbáskák teljes áráról. Ie A skalárok közötti különbség valamilyen módon a matematikán túl van. A skalár térbeli definíciója bármely mérési eljárás bevezetése előtt megtörténik, amint felismeri a világ egyes részeit. De még a koordinátarendszerek meghatározása után sem tűnik el. Ez a számok legegyszerűbb csoportja. A "skaláris" készlet komponense mindig egy. Az értéke minden koordináta-rendszerben megegyezik. Ez nyilvánvalóan nem függ a tér dimenzióinak számától, mert a skalár maga a mérési eljárásból, ez a dimenzió döntő, nem függ.
A következő tenzor, amelyet azonnal láthatunk, az első rang vektor vagy tenzor. Ez nem más, mint egy fizikai tárgy ára (ebben az esetben a tekercsek). Mivel térünk egydimenziós, egy objektum tulajdonságát ebben a térben csak egy írja le, akkor a vektorban lévő komponens is csak egy lesz. De! Ha egy skalárnak mindig van egy összetevője, bármilyen méretű tér számára, akkor egy vektor esetében az összetevők száma szigorúan egyenlő a dimenziók számával. Ez az "első rangú tenzor" kifejezésben szerepel. Mérésekor minden skála a kiválasztott objektumhoz egy dimenziós összetevőt rendel - egy számot, amely azt jelzi, hogy hány ilyen méretűre van szüksége az objektum reprodukálásához. A különböző alkotóelemek dimenziója általában eltér, és egybeesik a megfelelő mértékegység nevével. Különleges esetünkben például 25 rubel lesz. A tekercs ára rubelben, x p = 25 (rubel). És dollárban (egy másik koordináta-rendszerben) ez lesz 1 dollár, x d = 1 (dollár). Megjegyezzük, hogy a koordináta-rendszerek (pénznemek) közötti átmeneti együtthatók kettő. Tól rubel dollárban arányban dollár feltörni a piacon (e d / e p = 1/25 dollár / RUB) és fordítva (f p / f d = 25 rubel / dollár). A koordináta-transzformáció koefficiensei szintén dimenziósak, és mindkét koordináta-rendszernek dimenziói vannak. A vektor értékei egy koordináta-rendszerből a másikba alakulnak ki x d = e d / e p • x p képlet segítségével. Ez egészen természetes formula. Ahhoz, hogy az érték a komponensek a vektor egy új koordináta rendszerben az egységhez képest „dollár” van szükség, hogy szaporodnak az érték a vektor a régi koordináta-rendszerben az egységhez képest „rubel” a hozzáállása az új egységek a régi. Figyeljük meg, hogy a dimenziók is átalakultak! Az általános szabály - a komponenseket egy ilyen vektort transzformáljuk átmenetek alatt koordinátarendszerek között egy transzformációs mátrixot koordináták magukat (egységek vannak kiválasztva), a mátrix-származékok új koordinátákat, mint a régi funkciókat. Ebben a példában, a mátrix redukáljuk egy számot, de nyilvánvaló, hogy abban az esetben több egység (a tér a több mérés), ez lesz a táblázatban a számok (méret!).
Kiderül, hogy az egydimenziós térünkben az első rang tenzorai is nagyon hasonlítanak az árvektorhoz. Annyi összetevőjük van, mint amilyen mértékegységek vannak egy adott térben. Ezért ezeket vektoroknak is nevezik. De az objektum egész más tulajdonságát fejezi ki! E két fajta vektor megkülönböztetésére kontravariáns vektorok (például árvektor) és kovariáns vektorok. Ezek a nevek "ellen-átalakulást" és "együtt-átalakítást" jelentenek. Könnyű megérteni, hogy ez az összetevők transzformációjának képletekből származik, a koordináta-rendszerek közötti átmenetek között. Most bemutatunk egy könyvelési vektort a tekercsnek, és látni fogjuk a különbséget. Hány tekercset lehet mérni egységenként (ebben az esetben az árak - egy rubel vagy egy dollár)? A kérdés meglehetősen értelmes, gyakran kérdezünk. Az objektumnak ez a tulajdonsága, hogy "mérési egységenként ilyen mennyiségben kell lennie", és egy kovariáns vektort kell kifejtenie. Egy tekercsnél xp = 1/25 (1 / rubel) lesz. Ie 1 rubelre 1/25 tekercset vásárolhat. Vegye figyelembe, hogy a valuta index alul van, és a kovariáns vektorösszetevő dimenziója a megfelelő egység dimenziójának inverze. Egy másik koordináta-rendszerben xe = e p / e d • xp. A kovariáns vektor összetevőit megszorozzák a régi egység és az újak arányával. Az általános szabály, amely megkülönbözteti a kovariáns vektort egy ellentmondásos vektortól, az, hogy komponenseit koordináta-transzformáció inverz mátrixával, a régi koordináták származékainak mátrixával újakkal transzformálják.
És miért van szükségünk ezekre a vektorokra? Az életben hozzáadjuk, szaporodunk, osztjuk az árakat ... Helyesen, be kell lépnem (leírni) a műveleteket tenzorokkal. Itt van egy példa a sokszorosításra, amely még egy különleges nevet, konvolúciót hordoz. x p • xp = 1. Mi történt e művelet eredményeként, a tekercs árának terméke ugyanazon tekercs egységárán? Igaz, skalár, a tekercsek száma, vagyis pontosan ez az egy tekercs. És itt egy másik összefüggés - p = x p + y p. Mit mond? Az x árunak van egy bizonyos ára rubelben, az árukban y más. Az új termék teljes ára z. amely két áruból áll össze, z p. És mit mondasz erről z p = x p + y d összeg? Vagy ilyen z p = x p + yp. Vagy ilyen zp = x p + y p. Hülyeség, nem teheted így - rubelt dollárral, vagy árat egységárral. És nem adhat hozzá két árat az egységárhoz. Az árak hozzáadásával mindig árat adunk. Itt van a főszabály a tenzorokkal való működéshez. amelyre a fizika törvényei kovarianciájának követelménye lehet. A kiegészítés, a kivonás és az egyenlőség csak ugyanazon struktúrában lévő tenzorokat kötheti ugyanazon koordináta-rendszerben. És ez a szabály teljesen természetes, csak szigorúan artikulálja a fent említett józan ész követelményeit.
ár helyet, ami úgy döntöttem, én példákat, túl könnyű, egydimenziós, és emiatt fel bele a bonyolultabb tenzor (a második, és így tovább soraiban) kezeli nem csak (formálisan lehetséges, de nem sok értelme van). De nagyon intuitív, érthető, a műveletek szinte mindenki számára ismerősek. Egy fontosabb dologot szeretnék hangsúlyozni, amit természetes módon próbáltam egyértelművé tenni. A tenzor, függetlenül attól, milyen összetett volt az első, a második és a harmadik pillantásra, mindig semmi más, mint néhány konkrét, elszigetelt fizikai objektum mért tulajdonságainak számszerű kifejezése. Ráadásul ezen a szinten (egy adott rang tenzoránál) pontosan annyi szám van, mint az objektum tulajdonságai. És akkor is megfontolhatja a tulajdonságokat, mint a különböző független egységek. És még jobb, ha ezt az eszmét éppen ellenkezőleg fejezzük ki - az objektum teljes leírásához annyi önálló mérési egységet kell bevinni, hogy hány független tulajdonság van ennek az objektumnak. A mi konkrét esetben érdekel egy ingatlan, ár. Ez a mértékegységünk van.
Tekintsünk egy példát bonyolultabbá, de még mindig közel áll a közvetlen tapasztalatunkhoz. És természetesen közel ehhez az oldalhoz. Ez a példa háromdimenziós térrel büszkélkedhet. Az iskolában a tenzor első fogalma (bár anélkül, hogy megemlítené, hogy ez a tenzor kérdése) a sebességvektor használatával kapható példaként. Egy pont sebességvektorának (a fizika és a szilárd test iskolai tanfolyamában) 3 összetevője van, a tér dimenzióinak száma alapján. Általában a testhez csatolt nyíl és az ábrákon a sugárvektor jelenti. Világossá kell tenni, hogy a sugárvektor fogalma nem egy pontosan megegyezik egy vektor koncepciójával, mert A sugárvektor nincs összefüggésben egy ponttal, de mindig kettővel. Azonban a vektor fogalmát egy adott pontban a sugár vektor koncepciójából való átmenet eredményeként kapjuk meg, amikor a második pont a választott pontig terjed. Ráadásul az euklideszi térben mindkét fogalom gyakran felcserélhető, legalábbis a grafikai ábrázolásban. Meg tudja tudni ellenőrizni, hogy a vektorok hozzáadásának parallelogramjának szabálya pontosan ugyanazt az eredményt adja-e, mint kifejezetten (komponensben kifejezve) a tenzorok standard algebrai írott összege. Két sebességvektor hozzáadása (ezek ellentmondásos vektorok): v i = u i + w i. i = 1,2,3. A háromdimenziós tér számára sokkal könnyebb példákat adni a tenzorokra és a következő sorokra. Az ismerős euklideszi térnek ez a fontos második rangú tenzora, a metrikus tenzor gik. amely minden ortogonális koordináta-rendszerben diagonális: gik = 1 i = k és = 0 esetén i ≠ k esetén. Ezzel a tenzor alkalmazásával kiszámítjuk az esetleges kontravariáns vektor értékét, beleértve természetesen a sebességvektort is: v 2 = Σ gikv iv k. ahol az összesítés mindkét index értékeinél van, és a v (v 2) mennyiség egy skalár. Ez a képlet nem más, mint a pitagorai tétel, mint a háromdimenziós sebesség vektorára.
Természetesen a tenzorok geometriai tárgyak is, csak néhány sajátos esetük. Itt szeretném tisztázni, hogy pontosan mi a tenzorok kiválasztása az ilyen értelmes mértékegységekből, geometriai objektumokból. A tenzorok mindig egy adott objektumhoz kapcsolódnak. A tenzortól eltérő transzformációs joggal rendelkező geometriai objektumok változó objektumokkal vannak társítva, egy mérési eljárásban (koordináta-rendszerben) egy tárgyról beszélnek, másikban pedig egy másikról. A tenzorok és a velük való műveletek olyan módszert adnak, amely nem túl sok gondolat és mindig helyes, hogy a kiválasztott objektumok tulajdonságainak mérésével eredményezzen. Természetesen, ha pontosan megértjük az általunk használt tenzorok jelentését. De ez nem a matematika, hanem az értelmezés kérdése, a matematika alkalmazása a valós világra.
Nos, úgy tűnik, a tenzor általános elgondolása, és miért használják a kényelmet, és ami a legfontosabb, fontos és elkerülhetetlen, tisztáztam.