Lineáris algebra
Az n ismeretlenekhez képest m lineáris algebrai egyenletrendszert vizsgálunk
x1. x2. xn.
A rendszer megoldása az ismeretlen értékek n értékeinek gyűjtése
amelynek helyettesítésével a rendszer összes egyenlete válik identitássá.
A lineáris egyenletek rendszere mátrix formában írható:
ahol A a rendszer mátrixa, b a jobb oldali, x a kívánt megoldás, Ap pedig a rendszer kiterjesztett mátrixa:
Olyan rendszer, amely legalább egy megoldást tartalmaz. nevezett közös; olyan rendszer, amely nem rendelkezik egyetlen megoldással - összeegyeztethetetlen.
A lineáris egyenletek homogén rendszere olyan rendszer, amelynek jobb oldala nulla,
A homogén rendszer mátrix alakja Ax = 0.
Homogén rendszer koherens módon. mivel minden homogén lineáris rendszer legalább egy megoldást tartalmaz:
Ha egy homogén rendszernek egyedülálló megoldása van, akkor ez az egyedülálló megoldás nulla, és a rendszert triviálisan összekapcsolják. Ha egy homogén rendszernek több megoldása van, akkor közöttük vannak nemzónus megoldások, és ebben az esetben a rendszer nem triviálisan össze van kötve.
Bebizonyosodott, hogy m = n esetén egy nem triviális rendszerkompatibilitás szükséges és elégséges. így a rendszer mátrixának meghatározója nulla.
1. példa Egy lineáris egyenlet homogén rendszere nem térbeli kompatibilitása négyzetes mátrixszal.
A Gauss eliminációs algoritmust a rendszer mátrixára alkalmazzuk. a rendszer mátrixát lépésről lépésre csökkentjük
A nem-nulla sorok r számát a mátrix lépésenkénti alakjában a mátrix rangjának nevezzük, amelyet
r = rg (A) vagy r = Rg (A).
Annak érdekében, hogy a homogén rendszer ne-riviálisan kompatibilis legyen, szükséges és elégséges, hogy a rendszer mátrixának r-je kisebb legyen, mint az ismeretlen számok száma.
2. példa Három lineáris egyenlet homogén rendszerének négy nem nyilvánvaló kompatibilitása.
Ha egy homogén rendszer nem triviális, akkor végtelen számú megoldás létezik, és a rendszer bármely megoldásainak lineáris kombinációja is megoldást jelent.
Bebizonyosodott, hogy egy homogén rendszer végtelen sorozata között pontosan n-r lineárisan független megoldásokat találunk.
A homogén rendszer n-r lineárisan független megoldásainak halmaza a megoldások alapvető rendszere. A rendszer bármely megoldását lineárisan egy alapvető rendszeren keresztül fejezzük ki. Tehát, ha az Ax = 0 homogén lineáris rendszer A mátrixának r régebbi értéke kisebb, mint az ismeretlen n számok és a vektorok
e1. e2. en-r formálja az alapvető megoldási rendszert (Aei = 0, i = 1,2, n-r), akkor az Ax = 0 rendszer x-es megoldása a következő formában
ahol c1. c2. cn-r önkényes állandók. A rögzített kifejezés egy homogén rendszer általános megoldásának nevezhető.
A homogén rendszer vizsgálata annak megállapítására szolgál, hogy ez nem triviális közös, és ha igen, akkor megtalálja az alapvető megoldási rendszert, és írja le a kifejezést a rendszer általános megoldására.
Vizsgáljuk meg a homogén rendszert a Gauss-módszerrel.
a vizsgált homogén rendszer mátrixa, amelynek rangja r Az ilyen mátrixot a lépcsős alakú Gauss-kivétellel csökkentik A megfelelő egyenértékű rendszernek megvan a formája Az ingyenes változók jobb oldalra történő átvitelére képleteket kapunk amelyek meghatározzák a rendszer általános megoldását. A szabad változók értékeit egymás után soroljuk be és kiszámítja az alapváltozók megfelelő értékeit. A kapott n-r megoldások lineárisan függetlenek, következésképpen a vizsgált homogén rendszer alapvető megoldási rendszerei: 3. példa Egy homogén rendszer vizsgálata kompatibilitásra a Gauss-módszerrel.Kapcsolódó cikkek