váltakozó sorozat
Váltakozóan felírható:
A konvergencia váltakozó sorozat (jele Leibniz). Váltakozó sorozat konvergens, ha az abszolút értékek tagjai monoton csökkenő, és az általános kifejezés nullához, azaz ha a következő két feltétel teljesül: 1).
Vegyük az n-edik részösszegként konvergens váltakozó sorozat, amelyre a jele Leibniz
hagyja th fennmaradó sorozat. Ez lehet kifejezni, mint a különbség összege a sorozat S és az n-edik részösszegként azaz
Az érték becslése szerint az egyenlőtlenséget
konvergens, ha a sorozat
Ebben az esetben az eredeti sorozat nevezzük abszolút konvergens. Konvergens sorozat nevezzük feltételesen konvergens. ha a sorozat eltér.
mert 2> 1, akkor a sorozatot divergál.
Példa. Fedezze fel a konvergencia a sorozat
Megoldás: Alkalmazza a jele Leibniz. mert
Ezért, az első feltétel Leibniz jellemző. mert
Ez végre, és a második feltételt. Ennélfogva, a sorozat konvergál.
Példa. Fedezze fel a konvergencia a sorozat
Megoldás: állítsa be a számát az abszolút értékek
Ez a sorozat a végtelenül csökkenő mértani n. Ezért, a sorozat konvergál, és teljesen.
4. Funkcionális sorozat.
Számos amelynek tagjai - az X függvényében. az úgynevezett funkcionális. Az értékrendje x. amelyben a funkciók meghatározása, és a sorozat konvergál az úgynevezett régió konvergencia funkcionális sorozat. Minden érték a régió a konvergencia X felel meg egy bizonyos értéket, a összegértéknek nevezzük .Etu sorozat funkciók és jelöljük S (x).
Funkcionális sorozat formájában
ahol - valós szám, az úgynevezett teljesítmény.
A fő tulajdonsága hatványsorok, hogy ha egy hatványsor konvergens. akkor konvergál (és ráadásul abszolút) minden értéke x. kielégíti az egyenlőtlenséget (Abel-tétel).
Egyik következménye Abel-tétel megléte hatványsor az egyes intervallumok a konvergencia. vagy középpont. amelynek belsejében hatványsorba konvergál teljesen, és amely nélkül ez eltér. A végén az intervallum konvergencia (pontokban), különböző teljesítmény sorozat másképp viselkednek: az egyik konvergálnak teljesen mindkét végén, más - vagy feltételesen konvergálnak mindkét végén, vagy egyikük önkényesen konvergálnak másik diverge, és mások - eltérnek mindkét véget ér.
Az r szám úgynevezett sugara konvergencia hatványsorok. Különleges esetekben, a sugara konvergenciájának számos K lehet nulla vagy végtelenig.
Ahhoz, hogy megtalálja az intervallumot és sugara konvergencia hatványsorok, akkor használja az alábbi módszerek egyikét.
1 módja. Ha körében az együtthatók a sorozat nem egyenlő nulla, azaz sor tartalmazza az összes x-pozitív egész a különbség mértékét. az
azzal a megkötéssel, hogy ez a határérték (véges vagy végtelen) létezik.
2 módszer. Ha az eredeti sorozat formájában
(Ahol p egy pozitív egész szám: 2,3, ...), majd a
3. módszer. Ha nulla, és a fennmaradó szekvencia számos mutató mértékének az eltérés bármely számos tényező, a
ahol - együtthatók nullától eltérő.
4. módszer. Minden esetben, a szám az intervallum konvergencia megtalálható alkalmazásával közvetlenül d'Alembert-teszt, vagy jelentkezzen a Cauchy sorozat, alkotják az abszolút értékek a tagok az eredeti sorozat.
Hatványsorok rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy a sorozat kapott differenciáló és integráló Terminusonként az elektromos sorozat, azonos távolságban és a konvergencia az összeg a konvergencia intervallumon belül vannak, illetve a származékos és integrál összeg az eredeti számot. ha
Működés Terminusonként differenciálódás és integráció lehet egy hatványsor annyiszor.
Példa. Fedezze fel a konvergencia a sorozat
Megoldás: A szám egy mértani haladvány arány q =. Konvergál, ha majd távolodik ha. Következésképpen, a rés határozza meg a konvergencia a kettős egyenlőtlenséget. Az azonos eredmény alkalmazásával állíthatjuk elő a (4) képletű, (5).
Példa. Fedezze fel a konvergencia a sorozat
Megoldás: Ebben az esetben van az n = 2k-1, és ha n = 2k. Ahhoz, hogy megtalálják a sugara konvergencia leginkább kényelmes a használata a (5) képletű.
Megvizsgáljuk számos végei a konvergencia az integrál. Elhelyezés. Kapjuk számsorozatok
De így az x 2. Így a régió a konvergencia a sorozat
Példa. Fedezze fel a konvergencia a sorozat
Megoldás: Alkalmazza a jele Cauchy, abban a hitben
Így a sorozat konvergens, ha. azaz
Példa. Fedezze fel a konvergencia a sorozat
Megoldás: használjuk d'Alembert-féle teszt, feltételezve,
a sorozat konvergens, ha. azaz
5. bővítése funkciók hatványsorok.
Taylor-sor. Maclaurin sorozat.
Mindegyik funkció végtelenül differenciálható tartományban, azaz . Meg lehet bővíteni ebben a tartományban konvergens hozzá Taylor hatványsor
Ha ebben az intervallumban a feltétel
ahol - a fennmaradó távú Taylor képletű (vagy a maradék szám)
Ha kapsz egy diplomát Maclaurin sorozat:
Ha egy intervallum tartalmazza a lényeg. minden n egyenlőtlenség. ahol M - egy pozitív állandó, akkor az f (x) expandáljuk a Taylor-sor.
Bomlása elemi függvények Maclaurin sorozatban.
Ez a legújabb expanzió zajlik
Példa. Kibővített egy sorozat hatásköre x függvény
Megoldás: Keressük a függvény értékei és származékai x = 0.
Mivel 0 Példa. Kibővített egy sorozat hatásköre x függvény Megoldás: Mi különbséget a funkciója n + 1-szer: Azon a ponton, x = 0, találunk egy f értéke (n + 1) (X) határozzák meg az a pont x = c. Kapunk f (0) = 0 ,, Találunk a maradék: Mivel minden x. és a értéke a korlátozott, sem. Következésképpen a funkciót is képviselteti magát az összeget a Maclaurin sorozat Példa. Kibővített egy sorozat hatásköre x. Megoldás: B bővítése X helyébe -x 2; megkapjuk Példa. LNX bontjuk sor hatásköre x -1 Megoldás: B bővítése Cseréje X X - 1; megkapjuk Példa. Bővült hatásköre x -2 funkció 1 / x. Megoldás: Az általunk használt egyenlőséget. A jobb oldali az egyenlet lehet tekinteni, mint az összege végtelen mértani az első tag és a nevező
Kapcsolódó cikkek