Tárgy osztályozása parciális differenciálegyenletek másodrendű
1. Tanulás a besorolás a parciális differenciálegyenletek
2. A tanulás vezet kanonikus formában PDE-k.
A változás a változók a másodfokú egyenlet
csökkenthető egy egyszerű egyenlet. Feltételezve, hogy ez az arány már be új független változók és hol önkényes, hanem különböző (egyébként nem lesz kölcsönösen független funkció) számát. mint
akkor van egy mérkőzés
Megszorozzuk a második származékok rendre és 2b majd, és az összetételük. Ezután a bal oldali egyenlet (2.1) a formája:
Tekintsük most a kiegészítő másodfokú egyenlet Gyökerei függ a diszkrimináns érték lehet három eset lehetséges:
1) Ha a szakterületen, hogy az egyenlet (2.1) van a hiperbolikus típusú;
2) Ha az egyenlet (2.1) parabolikus;
3) Ha az egyenlet (2.1) tartozik az elliptikus típusú.
A differenciálegyenlet (2.2) az úgynevezett egyenlet egyenlet jellemzők
Miután meghatároztuk, hogy milyen típusú differenciálegyenlet bevitték azokat kanonikus formában transzformációval a független változó ()
Ahhoz, hogy megtalálja az átalakulás (2.3) van szükség ahhoz, hogy a jellemzőit egyenlet (2.2), amely az alábbi képlettel ábrázolható:
Ennek eredményeként, az egyenletek megoldása (2,5) megkapjuk az általános integrálok, amelynek bal oldalán vannak megadva (2,4), ami a egyenlet (2.3) a kanonikus formában.
A megoldás a karakterisztikus egyenlet (2,2) függ a diszkrimináns értékek.
Ezzel kapcsolatban konverziós képlet (2.4) mind a három típusú egyenletek a következők:
1 - hiperbolikus típusú. Az oldatot (2,5) rendelkezik, két érvényes közös integrál:
Egyenlővé bal oldalán a közös integrálok (2.6) új, független változók. . Kapunk egy transzformációs képlet:
2. - parabolikus. A rendszer (2,5) csökkenti, hogy az egyenlet :. amelynek megoldása adja az egyik igazi szerves gyakori:
A transzformációs képletek (2.4) ebben az esetben lehet írni a következőképpen:
ahol - bármilyen, működésében független az (feltételnek teljesülnie kell :)
Megjegyzés. választani, vagy
3. - elliptikus. Az oldatot (2,5) két komplex konjugált közös integrál:
A transzformációs képletek a következőképpen állítjuk elő:
Elvégzése során az átállás az új változók, az ismeretlen függvény úgy komplex függvénye. . majd
Behelyettesítve az értékeket a származékok egyenletben (2.3) hozama egyenletet tekinthető kanonikus formában.
A kanonikus alakja hiperbolikus egyenletek formában van:
A kanonikus formája parabolikus egyenlet:
- legmagasabb származék lehet -.
A kanonikus forma egy elliptikus egyenlet a következő:
Example1. Vezet a kanonikus egyenlete
Rozv'yazannya. Itt van. . . otzhe, rіvnyannya nalezhit a gіperbolichnogo típusát. Sklademo rіvnyannya jellemzőit. A tsomu vipadku rіvnyannya jellemzők rozpadaєtsya két zvichaynih diferentsіalnih rіvnyannya érdekében Perche, scho vannak írva diferentsіalah:
Zagalnі іntegrali Tsikh rіvnyan znahodyatsya bezposerednіm іntegruvannyam i mozhut Buti zapisanі a Taqiy sposіb:
Otzhe, Formula peretvorennya tér peremіnnih scho vezető Pochatkova rіvnyannya kanonіchnogo eszembe lenne:
Zvіdki Peretvorimo Pochatkova rіvnyannya a zmіnnih. . Mert tsogo obchislimo :. . . . .