Lineárisan függő és független funkciók

Funkciók $ y_1 (x) \; y_2 (x) \; y_3 (x), \ ldots, y_n (x) $ nevezzük lineárisan függ egy sor $ T $, ha léteznek olyan állandók $ \ alpha_1, \; \ alpha_2, \; \ alpha_3, \ ldots, \ alpha_n $, hogy $ \ forall x \ in T $ a következő egyenlőség:

$$ (1) \, \, \, \, \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 + \ ldots + \ alpha_n \ cdot y_n = 0 $$

Megjegyzés a terminológia: mutatják \ elrejtése

Állapot (2) lehet összefoglalni e készítményben: között az együtthatók $ \ $ alpha_i legalább egy nem nulla.

Ez könnyen ellenőrizhető egyenértékűségét a készítményekben. Egyenlőség $ \ alpha _ ^ + \ alpha _ ^ + \ ldots + \ alpha _ ^ = 0 $ lehetséges akkor, ha $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = \ ldots = \ alpha_n = 0 $. Ha $ \ sum _ ^ \ alpha _ ^ \ neq 0 $, az egyenlőség $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = \ ldots = \ alpha_n = 0 $ nem teljesül, azaz, legalább az egyik az együtthatók $ \ $ alpha_i nulla.

Ha (1) egyenlet csak akkor lehetséges, ha:

A funkció $ y_1 (x) \; y_2 (x) \; y_3 (x), \ ldots, y_n (x) $ hívják lineárisan független a sor $ T $. Tény, hogy a (3) egyenértékű a következő: az összes együttható $ \ $ alpha_i nulla.

Két funkciók könnyen következtethetünk egy egyszerű szabályt: ha $ \ forall x \ in T $ $ \ frac \ neq const $ intervallumon $ T = (a, b) $, akkor a funkciók $ y_1 (x) $ és $ y_2 (x ) $ lineárisan függetlenek a $ T $. Ha a $ \ forall x \ T $ $ \ frac = const $ a $ T $, a függvény $ y_1 (x) $ és $ y_2 (x) $ lineárisan függ a $ T $.

Az indoka az a szabály: mutatják \ elrejtése

Tegyük fel, hogy $ \ frac \ neq const $ a $ T $, de a funkció $ y_1 (x) $ és $ y_2 (x) $ lineárisan függ. Ha a funkciók lineárisan függő, akkor léteznek állandók $ \ alpha_1 $ és $ \ $ alpha_2, nem nulla ugyanakkor, hogy az egyenlőség: $ \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 = 0 $. Tegyük fel például, $ \ alpha_1 \ neq 0 $. Aztán, figyelembe véve a $ y_2 (x) \ neq 0 $ a $ T $, megkapjuk: $ \ frac = - \ frac = const $, ami ellentmond annak a feltételezésnek $ \ frac \ neq const $.

Ha a $ \ frac = const $, akkor a $ y_1 (x) -C \ cdot y_2 (x) = 0 $ a $ T $, azaz, $ \ Alpha_1 = 1; \; \ alpha_2 = -C $. Így $ \ alpha _ ^ + \ alpha _ ^ = 1 + C ^ 2 \ neq $ 0, azaz, Funkció $ y_1 (x) $ és $ y_2 (x) $ lineárisan függ a $ T $.

Minden felsorolt ​​példák a téma, fog alapulni a meghatározása és a tulajdonságok fenti. Természetesen az általános esetben, a kérelmet az ilyen meghatározások kissé nehéz. Számos feltétele van, hogy egyszerűsítse a folyamat ellenőrzése funkciókat egy lineáris összefüggés. Az oldalon tekinthető a következő két módon: a Wronskian és Gram meghatározó.

Megtudja, hogy a funkció $ y_1 (x) = x ^ 2 + 2x-4; \; y_2 (x) = - 4x ^ 2 + 7x-1; \; y_3 (x) = - 5x ^ 2 + 20x-14 $ lineárisan függő vagy lineárisan független halmazt a $ R $.

Vegyünk egy lineáris kombinációja ezeket a funkciókat is: $ \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 + \ alpha_3 \ cdot y_3 $. Ha $ \ forall x \ in R $ egyenlőség $ \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 + \ alpha_3 \ cdot y_3 = 0 $ csak akkor kerül végrehajtásra, ha a $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = \ alpha_3 = 0 $, akkor a funkciók lineárisan függetlenek . Ha a $ \ forall x \ in R $ egyenlőség $ \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 + \ alpha_3 \ cdot y_3 = 0 $ is alkalmazható, feltéve, hogy legalább az egyik együtthatók $ \ alpha_i $ nem nulla, akkor a függvény lineárisan függ.

Mi helyettesíti a kifejezés $ \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 + \ alpha_3 \ cdot y_3 = 0 $ kapnak funkciók:

Nézzük nyitni a konzolok és átrendezheti a feltételeket:

$$ \ alpha_1 \ cdot x ^ 2 + 2 \ alpha_1 \ cdot x-4 \ alpha_1-4 \ alpha_2 \ cdot x ^ 2 + 7 \ alpha_2 \ cdot x- \ alpha_2-5 \ alpha_3 \ cdot x ^ 2 + 20 \ alpha_3 \ cdot X-14 \ alpha_3 = 0; $$ $$ (\ alpha_1-4 \ alpha_2-5 \ alpha_3) \ cdot x ^ 2 + (2 \ alpha_1 + 7 \ alpha_2 + 20 \ alpha_3) \ cdot x + (- 4 \ alpha_1- \ alpha_2-14 \ alpha_3 ) = 0. $$

Az utolsó egyenlőség csak akkor lehetséges, abban az esetben, ha az együtthatók a hatáskörét a változó $ x $ egyidejűleg nulla, azaz

$$ \ left \ \ alpha_1-4 \ alpha_2-5 \ alpha_3 = 0; 2 \\ \ alpha_1 + 7 \ alpha_2 + 20 \ alpha_3 = 0; \\ -4 \ alpha_1- \ alpha_2-14 \ alpha_3 = 0. \ End \ right. $$

Kaptunk egy homogén lineáris egyenletrendszer. Nem kell az ő döntését, csak be kell állítani a megoldások számát. Ha a döntés csak egy - nulla (vagy más szempontból triviális), azaz $ \ Alpha_1 = \ alpha_2 = \ alpha_3 = 0 $, akkor a függvények lineárisan függetlenek. Ha vannak más megoldások, más mint nulla, akkor a függvények lineárisan függő. Mi található a rangsorban a rendszer mátrix $ A = \ left (\ begin 1 -4 -5 \\ 2 7 \\ 20 -4 -1 -14 \ end \ right) $ és a rangot a kibővített mátrix rendszer: $ \ hullámvonal = \ left (\ begin 1 -4 -5 0 \\ 2 7 20 \\ 0 -4 -1 -14 0 \ end \ right) $, majd alkalmazzuk a Kronecker-tétel-Capelli.

Tehát $ megszólalt \ hullámvonal = megcsörrent A = 2 <3$, т.е. система имеет бесконечное количество решений. Следовательно, функции $y_1;\;y_2;\;y_3$ линейно зависимы. При желании можно отыскать один из этого бесконечного множества наборов $\alpha_1; \; \alpha_2\; \alpha_3$, в котором хотя бы один элемент не равен нулю. Продолжим решение системы уравнений, вычеркнув нулевую строку и перенеся третий столбец (он соответствует переменной $\alpha_3$) за черту:

Így kapjuk a megoldást: $ \ left \<\begin&\alpha_1=-3\alpha_3;\\&\alpha_2=-2\alpha_3;\\&\alpha_3=\alpha_3;\;\alpha_3 \in R \end \right.$ Например, подставив $\alpha_3=-1$, получим: $\alpha_1=3;\; \alpha_2=2$. Несложно убедиться непосредственной проверкой, что равенство $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\alpha_3\cdot y_3=0$ при найденных коэффициентах будет выполнено $\forall x\in R$:

$$ 3 \ cdot y_1 + 2 \ cdot y_2-y_3 = 3 \ cdot (x ^ 2 + 2x-4) +2 \ cdot (-4x ^ 2 + 7x-1) - (- 5x ^ 2 + 20x-14 ) = 0. $$

Így, léteznek konstansok $ \ alpha_1; \; \ alpha_2; \; \ alpha_3 $ (például, $ \ alpha_1 = 3; \; \ alpha_2 = 2; \; \ alpha_3 = -1 $), hogy egyidejűleg nulla hogy a $ R $ kielégíti az identitás $ \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 + \ alpha_3 \ cdot y_3 \ ekv 0 $. Következésképpen, a funkciók lineárisan függ.

Teszt A lineáris összefüggés az ilyen funkciók: $ y_1 (x) = x \ ln (x + 4); \; y_2 (x) = \ ln ^ 2 (x + 4) $.

Vizsgálatokat végeztünk a tartományban $ T = (- 4; + \ infty) $, amely egy tartomány előre meghatározott funkciók. Alkalmazása a szabály, hogy meghatározza a lineáris függését két meghatározott feladatokat az elején az oldalt. Mivel a $ x \ in (-4; + \ infty) $ van: $ \ frac = \ frac \ neq const $, akkor ezek a funkciók lineárisan függetlenek $ T = (- 4; + \ infty) $.

Teszt a lineáris függését a függvény: $ y_1 (x) = 1; \; y_2 (x) = x; \; y_3 (x) = x ^ 2; \; y_4 (x) = x ^ 3; \; y_5 (x) = x ^ 4 $.

A tartomány meghatározásának ezeket a funkciókat az egész számegyenesen, azaz $ X \ in R $. Tekintsük a következő egyenletet:

$$ (4) \, \, \, \, \ alpha_1 \ cdot 1+ \ alpha_2 \ cdot x + \ alpha_3 \ cdot x ^ 2 + \ alpha_4 \ cdot x ^ 3 + \ alpha_5 \ cdot x ^ 4 = $ 0 $

Ha egyenlet (4) az összes $ x \ in R $ csak akkor lehetséges, ha $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = \ alpha_3 = \ alpha_4 = \ alpha_5 = $ 0, az előre meghatározott függvény lineárisan függetlenek. Ha a (4) egyenlet $ \ forall x \ in R $ kerül végrehajtásra egy sor állandók $ \ alpha_1 $, $ \ alpha_2 $, $ \ alpha_3 $, $ \ alpha_4 $, $ \ alpha_5 $, amelyek közül legalább egy eltér nulla, akkor az adott funkció lineárisan függ. Tehát, meg kell vizsgálni a (4) egyenlet.

A bal oldalon a (4) egyenlet egy polinom a rendelés (vagy más szempontból, milyen mértékben), amelyből nem haladja meg a $ 4 $. Például, ha $ \ alpha_1 = 2; \; \ Alpha_2 = 0; \; \ alpha_3 = 0; \; \ alpha_4 = 7; \; \ alpha_5 = 0 $, kapunk egy polinom a harmadik rend: $ \ alpha_1 \ cdot 1+ \ alpha_2 \ cdot x + \ alpha_3 \ cdot x ^ 2 + \ alpha_4 \ cdot x ^ 3 + \ alpha_5 \ cdot x ^ 4 = 7x ^ 3 + 2 $. Ie A bal oldalon a (4) egyenlet lehet a polinom a negyedik, a harmadik, a második, az első és a nulladik sorrendben.

Vegyük azt az esetet, amikor a bal oldali (4) egyenlet olyan polinom, amelynek érdekében nem nulla (többek között az állandók $ \ alpha_2; \; \ alpha_3; \; \ alpha_4; \; \ alpha_5 $ legalább egy nem nulla). Bármilyen polinomiális az elsőrendű utalhat nullára csak egy ponton (azaz, csak egy értéke $ x $, ahol az első rendű polinomiális egyenlő nullával). Második polinomot nullával egyenlő, legfeljebb két pontot; polinom harmadrendű - nem több, mint három pontot; negyedrendű polinomiális eltűnik legfeljebb négy pont. Ie ha között állandók $ \ alpha_2; \; \ alpha_3; \; \ alpha_4; \; \ alpha_5 $ legalább egy nullától eltérő, akkor a (4) egyenletet lehet nem több, mint a négy értékét $ x $ ( de nem minden $ x \ in R $).

Vegyünk például egy olyan helyzetet, amikor néhány állandók $ \ alpha_2; \; \ alpha_3; \; \ alpha_4; \; \ alpha_5 $ kívül senki más nem nulla, azaz $ \ Alpha_2 = \ alpha_3 = \ alpha_4 = \ alpha_5 = 0 $. Ebben az esetben, a bal oldali (4) egyenlet eredményez polinomja érdekében nulla $ \ alpha_1 \ cdot 1+ \ alpha_2 \ cdot x + \ alpha_3 \ cdot x ^ 2 + \ alpha_4 \ cdot x ^ 3 + \ alpha_5 \ cdot x ^ 4 = \ alpha_1 $. A saját egyenletek (4) lesz: $ \ alpha_1 = 0 $. Következésképpen a nulla polinomot az egyenlőség (4) csak akkor lehetséges, ha a $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = \ alpha_3 = \ alpha_4 = \ alpha_5 = 0 $.

Összefoglalva: ha a jobb oldali (4) egyenlet van egy polinom nem nulla, akkor (4) nem lehet eleget tenni minden $ x \ in R $. (4) egyenlet elégedett lehet minden $ x \ in R $ csak akkor, ha van egy nulla-rendű polinom a jobb oldalon, azonban ez azt jelenti, $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = \ alpha_3 = \ alpha_4 = \ alpha_5 = 0 $. Mivel (4) egyenlet teljesül minden $ x \ in R $ csak előírt $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = \ alpha_3 = \ alpha_4 = \ alpha_5 = $ 0, akkor a megadott funkciók lineárisan független a $ R $.

Vizsgált a lineáris függését a függvény: $ y_1 (x) = 4; \; y_2 (x) = \ arcsin x; \; y_3 (x) = \ ARccOS x $ $ intervallumon [- 1, 1] $.

Mivel $ \ arcsin x + \ ARccOS x = \ frac \; \ Forall x \ in [-1; 1] $, majd:

$$ \ arcsin x + \ arccos x = \ frac \ cdot4; \; \ Arcsin x + \ arccos x- \ frac \ cdot4 = 0; \; 1 \ cdot y_1 + 1 \ cdot y_2 + \ left (- \ frac \ right) \ cdot y_3 = 0 $$

Tehát létezik egy sor állandók $ \ alpha_1; \; \ Alpha_2; \; \ Alpha_3 $ (például $ \ alpha_1 = 1; \; \ alpha_2 = 1; \; \ alpha_3 = - \ $ frac), amelyek között van legalább egy konstans, nullától eltérő, hogy az egyenlőség $ \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 + \ alpha_3 \ cdot y_3 = $ 0 elégedett lesz az összes $ x \ in [-1; 1] $. Ez azt jelenti, hogy a funkciók $ y_1 (x) = 4; \; y_2 (x) = \ arcsin x; \; y_3 (x) = \ arccos x $ lineárisan függ az intervallum $ [- 1; 1] $.

Megvizsgáltuk, hogy lineáris összefüggés a függvény: $ y_1 (x) = x; \; y_2 (x) = | x | $ domainjükben.

Domain meghatározott funkciók mindegyike a valós számok halmaza, azaz $ X \ in R $. Funkció lesz lineárisan függő, ha létezik egy sor állandók $ \ alpha_1 $ és $ \ $ alpha_2, hogy minden értéke $ x \ in R $, az egyenlőség $ \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 = $ 0 (azaz . $ \ alpha_1 \ cdot x + \ alpha_2 \ cdot | x | = 0 $), és legalább egy együttható ($ \ alpha_1 $ vagy $ \ alpha_2 $) nem nulla. Ha az egyenlőség $ \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 = 0 $ a $ \ forall x \ in R $ csak akkor lehetséges, ha a $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = 0 $, akkor az adott funkció lineárisan függetlenek. Tekintsük az egyenlőség $ \ alpha_1 \ cdot x + \ alpha_2 \ cdot | x | = 0 $ tovább.

Ha a $ x≥ 0 $, akkor $ | x | = x $, így az egyenlő $ \ alpha_1 \ cdot x + \ alpha_2 \ cdot | x | = 0 $ lesz: $ \ alpha_1 \ cdot x + \ alpha_2 \ cdot x = 0 $, $ x \ cdot (\ alpha_1 + \ alpha_2) = 0 $. Egyenlőség $ x \ cdot (\ alpha_1 + \ alpha_2) = $ 0 teljesülnie kell valamennyi $ 0 $ x≥, így $ \ alpha_1 + \ alpha_2 = 0 $.

Ha a $ x <0$, то $|x|=-x$, поэтому равенство $\alpha_1\cdot x+\alpha_2\cdot |x|=0$ станет таким: $\alpha_1\cdot x-\alpha_2\cdot x=0$, $x\cdot(\alpha_1-\alpha_2)=0$. Равенство $x\cdot(\alpha_1-\alpha_2)=0$ должно быть выполнено при всех значениях $x <0$, поэтому $\alpha_1-\alpha_2=0$.

Annak érdekében, hogy az egyenlő $ \ alpha_1 \ cdot x + \ alpha_2 \ cdot | x | = 0 $ igaz minden $ x \ in R $, szükséges két feltétel:

A kapott rendszer csak a triviális (nulla) oldat: $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = 0 $. Így az egyenlőség $ \ alpha_1 \ cdot x + \ alpha_2 \ cdot | x | = 0 $ a $ \ forall x \ in R $ csak akkor lehetséges, abban az esetben a $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = 0 $, így a funkciók lineárisan függetlenek az R.

A tanulmány a lineáris összefüggés segítségével Wronskians és Gram meghatározott további témák az oldalon.