A teljes populáció mérete
A teljes populáció mérete
Mint korábban említettük, mi néha érdekel nem csak az egyedszám egy közösség, sőt élő pillanatban, hanem az összes valaha élt egyének. A probléma megoldására a sokkal egyszerűbb, mint amilyennek látszik első pillantásra. Vegyük például az egyszerű születés és halál leírt folyamat Sec. 8,2, a születési és a halálozási arány megegyezik rendre P és leírására az egyedszám élő népesség t időpontban, a véletlen változó, és leírni a teljes populáció mérete - egy véletlen változó. Aztán a véletlen változó lesz megismételni a pozitív ugrik a véletlen változó, de nem fogja megismételni negatív ugrások, hiszen csak változtatni, amikor a lakosság az új tagok.
Így az egyetlen nem nulla értéket a funkciók
Ez könnyen belátható, hogy az alapvető differenciálegyenlet részleges származékok a pillanatban-generáló függvény formájában
a kezdeti feltétel
Egyenlet (8.57) is érvényes, még akkor is, ha azok függvényében t. Ezért alkalmazza a szokásos módszerrel, alapuló levezetését az egyenlet a generáló függvény és kumulánsaira közönséges differenciálegyenlet a kumulánsok, és az egyes funkciók, ez a módszer nagyon hasznos lehet. Ahhoz azonban, hogy egy oldatot kapjunk kifejezetten az általános esetben még nem lehetséges.
Mikor és - állandó, hogy közönséges differenciálegyenlet nagyon könnyű. Ami a várható értéke és szórása számának élő személyek a lakosság, mi kell még egyszer, hogy a megadott érték az alábbi (8.33) és (8.34), mivel nem számítanak változásra a jogszabályok fejlesztés ezen csoportját. Ugyanakkor a várható értéke és szórása a lakosság által kifejezett más képletek:
Ha a korlátozó értékek az űrlap
így az átlagos egyedszám, hogy valaha is létezett a lakosság (bizonyos kihalás előfordul), valamint; Ez magában foglalja az egyének, és hogy létezett kezdő időpontjában
További lehetőség, hogy megtalálja explicit kifejezés a generáló funkciója a valószínűsége. Feltételezve (8,57), és úgy találják, hogy az érintett egyenlet a következő formában
a kezdeti feltétel
(Egyenlet (8,62) úgy is írható közvetlenül, a általános képletű (8,48).) Egyenlet segítségével a szokásos módszerekkel, megkapjuk
ahol a funkciók a változó y, által meghatározott gyökerei egy másodfokú egyenlet követőt:
(Ez egy másodfokú egyenlet képződik automatikusan az oldatban az egyik jellegzetes egyenletek.)
Expression (8,64) elég kompakt, mégis nehéz, és ebből származik néhány érdekes tulajdonságokkal rendelkeznek. Például ez lehetséges explicit aszimptotikus eloszlása a teljes populáció mérete, amit csak meg kell kitalálni. van
ahol - annak a valószínűsége, hogy az egyedek teljes száma, akik valaha is élt a lakosság is.