Mérés és valószínűségi mérték
Definíció 14. Let # 151; egy sor, és # 151; algebra a részhalmaza. A funkció az úgynevezett intézkedést, amennyiben az megfelel a következő feltételeknek:
(1) bármely beállított ez nemnegatív :;
(2) bármely megszámlálható halmaza diszjunkt (azaz úgy, hogy minden), az intézkedés az unió összegével egyenlő tetteikért:
( „Megszámlálható additivitás” vagy „szigma-adalékanyag” intézkedések).
Tegyük fel, # 151; a készlet minden részhalmaza. Mi határozza meg az intézkedés ezen: ,,,,,,,. Az egyszerűség kedvéért mi helyett írtak mindenhol.
Tegyük fel, # 151; a készlet minden részhalmaza a természetes számok. Mi határozza meg az intézkedés az úton: # 151; az elemek száma a beállított (vagy végtelen, ha a készülék nincs a végső).
16. példa (Lebesgue (1)). Amikor beszélgettünk geometriai valószínűség, azt használta a „intézkedés terén”, utalva a „hossz” a vonal „terület” a gépen, „volume” a háromdimenziós térben. Vannak ezek a „hossz nm-kötet” a jelenlegi intézkedések abban az értelemben, 14. fogjuk megoldani ezt a problémát egy egyenes, így a sík és a tér a magasabb dimenzió az olvasó.
Tekintsük a valós összhangban algebra Borel készletek. Ez algebra, definíció szerint, a legkisebb algebra, amely az összes időközönként. Az egyes intervallumok számát fogják hívni a rés hossza.
Nem fogjuk bizonyítani a következő nyilatkozatot teszi:
1. Lemma létezik egy egyedi intézkedés, amelynek értéke minden intervallum megegyezik a hosszával :. Ez az intézkedés az úgynevezett Lebesgue.
Megjegyzés 7. Ez annak a következménye, a tétel a Caratheodory (2), hogy továbbra is az intézkedések algebra algebra alkalmazása a. Eljárás alkalmazásával Lebesgue folytatása (feltöltés) az intézkedés, az intézkedés lehet terjeszteni szélesebb algebra, mint Borel, # 151; A algebra Lebesgue mérhető készletek. Elég rendelni minden olyan intézkedés, nulla részhalmazát Borel állítja nulla Lebesgue.
Szükségünk lesz egy ingatlan, amely bármilyen intézkedést. Ez fellépésének folytonossága néha az axiómának a folytonosságot. szem előtt tartva, hogy ez lehet helyettesíteni (2) meghatározásában 14.
2. Lemma (lépést folytonosság). Adott egy csökkenő sorrendben egymásba ágyazott részhalmazát olyan, hogy és. Aztán.
Bizonyítás. Jelöljük egy gyűrű :. Készletek ,,, diszjunktak. Ezután a reprezentációk
axióma (2), hogy a
Az első összeg, tekintettel a feltétel az összege egy abszolút konvergens sor (amely nem negatív értelemben). A konvergencia a sorozat, az következik, hogy a „farok” számos egyenlő, nullához. ezért
Ennek haszna funkció könnyen elkészíthető gyakorlat.
Az axióma folytonossági intézkedések készletek, bizonyítja, hogy a Lebesgue mértéke egyelem¶ részhalmaza a számegyenesen nulla :. Ezzel a tény, hogy bizonyítani, hogy ,,,.
Megjegyzés. Hiányában feltételezések (illetve egyes), arra kényszerítve intézkedések beágyazott set lehet véges, az ingatlan nem lehet elvégezni.
Például, mi határozza meg az intézkedés ezen: ha legfeljebb megszámlálható, egyébként. Ezután a készlet van:
És végül, képesek vagyunk a fogalom meghatározása, a valószínűség.
Definíció 15. Let # 151; beállítása és # 151; algebra a részhalmaza. Mérték az úgynevezett normalizált mikor. Egy másik nevet normalizálódott intézkedés # 151; valószínűségét vagy valószínűségi mérték.
Ugyanez még egyszer részletesen:
Definíció 16. Let # 151; a tér elemi események # 151; algebra részhalmazainak (események). Valószínűsége vagy valószínűségi mérték egy függvényt a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
(P1) bármely esetben, az egyenlőtlenség;
(P2) bármely megszámlálható egymást kölcsönösen kizáró események már az egyenlőség
(P3) a valószínűsége, hogy egy bizonyos esemény egyenlő egy :.
Tulajdonságok (P1) # 151; (P3) nevezzük axiómák a valószínűség.
17. meghatározása a trojka, amely # 151; a tér elemi események # 151; algebra részhalmazok és # 151; valószínűségi mérték az úgynevezett valószínűségi mező.
Megmutatjuk, ingatlan valószínűségek származó axiómák. Az alábbiakban nem leszünk bármikor tárgyalni, de nézzük szem előtt tartani, hogy van dolgunk csak az eseményeket.
Bizonyítás. Események, ahol kölcsönösen összeférhetetlen, és az uniót is üres. Axióma (P2).
Ez csak akkor lehetséges, abban az esetben.
Axiom megszámlálható additivitási valószínűség (P2) különösen igaz egy véges halmaza egymást kizáró események.
Az ingatlan 1. Minden véges egymást kölcsönösen kizáró események már az egyenlőség
Bizonyítás. Tegyen minden. A valószínűségek ilyen esemény az ingatlan 0, nulla. Az események, amelyek páronként egymást kizáró, és az axióma (P2).
Több következmények származhatnak az ingatlan.
Az ingatlan 2 mindenesetre elvégzett :.
Bizonyítás. Mivel események és inkonzisztens, a axióma (P3), és kap tulajdonságok 1.
Az ingatlan 3. Ha majd.
Bizonyítás. Képviselt, mint a szakszervezet két egymást kizáró események :. Szerint ingatlan 1.
Azonnal megjegyezzük, hogy a axióma (P1) kifejezést a jobb oldali nagyobb vagy egyenlő, ami bizonyítja a következő monotonitás tulajdonát valószínűsége.
Az ingatlan 4. Ha, akkor.
Property 5. mindenesetre elvégzett :.
Bizonyítás. A (P1). És azóta.
6. Mindig tulajdon.
Bizonyítás. Van tehát az ingatlan 3 De a és következetlen. Ismét az ingatlan 1, megkapjuk:
Ebből tulajdon és axiómák (P1), majd két hasznos tulajdonságait. 8 bizonyítja tulajdonság olvasó 7 a tulajdonság.
7. Mindig tulajdon.
Az ingatlan 8. Ez mindig.
A következő tulajdonságot nevezzük felvételét-kizárási elv. Ez nagyon hasznos, ha kiszámítható a valószínűsége egy esemény nem bontható esetén kényelmes páros összeférhetetlen események, de sikerül megosztani az eseményt egyszerű alkatrészek, amelyek azonban kompatibilisek.
Property 9. Bármely véges halmaza események, van az egyenlet:
Bizonyítás. Az általunk használt módszer matematikai indukció. Basis indukció # 151; ingatlan 6. Legyen az ingatlan 9 érvényes. Lássuk be, hogy ez igaz. By ingatlan 6,
Gyakorlat 19. póttag (4). (5) a (3), és befejezni a indukciós lépés.
Itt egy példa a probléma, ahol a használata a tulajdonságainak 9 # 151; A legegyszerűbb módja annak, hogy megoldja. Ez egy ismert „probléma szétszórt titkár.”
17. példa Vannak levelek és aláírt borítékot. Leveleket bővült a borítékokat véletlenszerűen egyet. A valószínűsége, hogy legalább egy levelet fog küldeni egy borítékban jelentett neki, és a határérték ennek valószínűsége.
Határozat. Hagyja, hogy a rendezvény, azaz th levél hullott a borítékba. majd
Mivel események, kompatibilis, meg kell használni a (2) képlet. A klasszikus meghatározás valószínűség kiszámításához a valószínűsége az események és a csomópontok. Elementary eredmények minden lehetséges permutációk (elhelyezési) betűk boríték. A teljes szám, és kedvező esetben ezek ugyanis minden permutáció betűk, kivéve én, fekve a borítékba. Ezért minden.
Ugyanígy azt találjuk, hogy minden
Annak a valószínűsége, a kereszteződésekben mindhárom események
Hasonlóképpen kiszámítjuk a valószínűsége, hogy a kereszteződés minden más események száma, beleértve a
Számítsuk ki kifejezések száma az egyes összeget a (2) képlet. Például az összege szempontjából pontosan # 151; éppen elég trohelementnyh készlet képezhető az elemeket, és mindegyik megtalálható az index ezt az összeget egyszerre. Behelyettesítve a valószínűségek a (2) egyenlet. kapjuk:
Gyakorlat 20. felírni Taylor sorfejtés és győződjön meg arról, hogy mikor.