Tulajdonságok funkciók folyamatos intervallumon

Definíció. Ha az f (x) meghatározott a [a, b], a folyamatos, minden pontján az intervallum (a, b), egy jobbról folytonos a b pont folyamatos a bal oldalon, azt mondjuk, hogy az f (x) folytonos a [a, b].

Más szóval, az f (x) folytonos a [a, b], ha az alábbi három feltétel:

Mert funkciókat, amelyek folytonos az intervallumon, úgy bizonyos tulajdonságait, amelyek megfogalmazzuk az alábbi tételek lefolytatása nélkül bizonyítékokat.

Tétel 1. Ha az f (x) folytonos a [a, b], akkor éri el a szegmensét a minimális és a maximális értéket.

Ez a tétel kimondja, (ábra. 1,15), hogy a [a, b], létezik egy pont x1. hogy f (x1) ≤ f (x) minden x a [a, b], és hogy van egy pont x2 (x2 [a, b]) oly módon, hogy

Értéke az f (x1) a legnagyobb egy adott funkciót [a, b], és az f (x2) - legkisebb. Legyen: f (x1) = M, F (x2) = m. Ami a f (x) kielégíti az egyenlőtlenséget :. megkapjuk az alábbi következmény 1. tétel.

Következmény. Ha az f (x) folytonos a, ilyenkor csak ebben az intervallumban.

Tétel 2. Ha az f (x) folytonos a [a, b] és a végpontokban veszi értékeit a különböző jelek, akkor van egy belső pont x0 [a, b], amelyben a függvény értéke 0, azaz, .

Ez a tétel kimondja, hogy a függvény grafikonját y = f (x), folytonos az [a, b], metszi Ox tengelyt legalább egyszer, ha az értékek a F (a) és f (b) ellenkező előjelű. Például, (ábra. 1,16) f (a)> 0, F (b) <0 и функция f(x) обращается в 0 в точках x1. x2. x3 .

3. tétel Legyen az f (x) folytonos a [a, b], f (a) = A, F (b) = B, és
A ≠ B (ábra. 1.17). Ezután, tetszőleges számú C, között a számok A és B, létezik egy belső pont x0 [a, b], hogy f (x0) = C

Következmény. Ha az f (x) folytonos a [a, b], m - a legkisebb érték az f (x), M - a legmagasabb érték az f (x), az [a, b], akkor a függvény (legalább egyszer) bármelyik értéke m, zárt m és m között, és így a [m, m] a készlet minden függvény értékei az f (x), az [a, b].

Megjegyzendő, hogy ha a függvény folytonos a (a, b), vagy az intervallum
[A, b] az a pont a diszkontinuitás, tételek 1, 2, 3 ilyen funkciók már nem érvényes.

Végül úgy véljük, az elmélet létezését inverz függvényt. Emlékezzünk vissza, hogy egy rés értetődő az intervallum, vagy időközönként véges vagy végtelen intervallumban.

Tulajdonságok funkciók folyamatos intervallumon

4. Tétel Legyen f (x) folytonos a X, növekszik (vagy csökken) a több X és Y. Ezután az intervallum-értékeket a függvény y = f (x) egy inverz függvény x = # 966; (y), meghatározott intervallumon Y, folyamatos és növekvő (vagy csökkenő) az Y a beállított értékek X.

Megjegyzés. Legyen a függvény x = # 966; (y) az inverz függvény f (x). Amint általában jelöli az érv x, és a függvény által y, akkor tudjuk írni a inverz függvényeként y = # 966; (x).

1. példa A funkció y = x 2 (ábra. 1,8, a) egy sor, az X = [0, + ∞) folyamatos, növekvő és sokasága van az Y = [0, + ∞). A függvény az y = x 2 az inverz függvény x = √y (ábra. 1.8, b), és miután az átnevezés változók y = √x. Különösen, folyamatos és növekvő X.

Tulajdonságok funkciók folyamatos intervallumon


2. példa A funkció y = sinx (ábra. 1,19, a) folyamatos és növekvő az intervallumot, és több, az [-1, 1] értéket, így azt a inverz függvényeként y = arcsinx (ábra. 1,19, b) egy adott, a folyamatos és növeli az intervallum [-1, 1] és amelynek több értékek

Tulajdonságok funkciók folyamatos intervallumon

Megjegyezzük, hogy a grafikonok az inverz funkciók szimmetrikus vonal y = x. Kínálunk a telek kölcsönösen inverz funkciók:
1. y = cosx, y = arccosx;
2. y = TGX, y = arctgx;
3. y = ctgx, y = arcctgx;
4. y = e x. y = LNX.

Kapcsolódó cikkek