A számítás a magasabb rendű származékok

Irodalom: Gyűjtemény problémák a matematika. 1. rész Szerkesztette Efimov, BP Demidovich.

Másodrendű függvény deriváltját $ y = f (x) $ a származék az első deriváltját, azaz $$ y '' (x) = (y '(x))'. $$

Derivative $ N- $ edrendű (vagy $ N- $ th-származék) a-származék a-származék $ N-1- $ edrendű azaz $$ y ^ (x) = \ left (y ^ (x) \ right)”, \ qquad n = 2, 3. A származékot $$ $ n- $ th érdekében kijelölésére $ \ frac. $

Legyen $ u (x) $ és $ v (x) $ származékai $ N- $ ed rendű. Majd ezt a származékot $ N- $ edrendű termékük $ u (x) v (x) $ megfelel az alábbi képletnek Leibniz $$ (uv) ^ = u ^ v + nu ^ v '+ \ fracu ^ v' „+. + Uv ^ = \ sum \ limits_ ^ ^ nC_ ku ^ v ^, $$ ahol $ u ^ = u, \, \ v ^ = v $ és $ C_n ^ k = \ frac = \ frac - $ binomiális együtthatók ( definíció szerint, $ 0! = 1 $)

Keresse meg a származékok rend 2. a következő funkciókat:

$ Y '= (\ cos ^ 2 x) = 2 \ cos x (\ cos x)' = - 2 \ cos x \ sin x = -sin 2x; $

$ Y '' = (- \ sin 2x) = - \ cos 2x (2x) = -. 2 \ cos 2x $

Legyen $ u (x) $ és $ v (x) - $ kétszer differenciálható függvény. Keresse $ y '\, \, y' „$ ha:

Keressen egy képletet a $ N- $ th származékot előre definiált funkciók:

5,206. Bővül egy lineáris kombinációja egyszerűbb funkciókat, megtalálja a származék $ y ^ $ függvény $ y = \ frac. $

Bővítjük a frakció $ \ frac $ elemi:

Így, $ x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (X-2). $

Mi egyenlőségjelet együtthatók hasonló kifejezések:

Alkalmazása Leibniz deriválhat ezeknek a megbízásoknak a megadott funkciók:

Szerint a Leibniz formula kapjuk:

Tól feladat 5,201 levelet ki sine származékok: $$ \ sin ^ x = \ sin (x + 15 \ pi / 2) = \ sin (x + 3 \ pi / 2 + 6 \ pi) = \ sin (x + 3 \ pi / 2) = - \ cos x; $$

Így találunk:

5,224. Find a második függvény deriváltját hallgatólagosan $ y = 1 + xe ^ y. $

Bemutatjuk a funkciót $ F (x, y): $

Találjuk az első származék:

Ezután megnézzük a második származék, és ahelyett, hogy a $ y „$ helyettesítő talált a funkciót: