Négy előadások a kinematikája anyagi pont
Forgómozgást. Egységes mozgása az a pont a kerületén. A szögsebesség-vektora. szöggyorsulással
A egyenletesen gyorsuló mozgás egy részecske mozog mindig ugyanabban által képezett síkban a kezdeti sebesség v vektor (0) és a konstans gyorsítás egy (bizonyítani). Ugyanakkor nyilvánvaló, hogy nem minden síkban mozgást egyenletesen gyorsuló. Példa lapos neravnouskorennogo mozgalom ismert meg az iskolai fizika persze - egy egyenletes körmozgás. Nézzük meg itt. Mivel ez a mozgás síkjában, választhatja ezt a síkot, XY síkban. Mi választjuk ki a származási középpontjában kerülete (ábra. 1).
Ábra. 1. Az egyenletes körmozgás.
Koordinátákat kifejezve a részecskemérete r sugarú és az a szög a kerülete # 945;.
Mivel mozgás jön létre a kerület mentén, r független az időtől. Az idő függvényében csak a szög # 945; (T). Az idő szerinti deriváltja a szöget nevezzük a szögsebesség # 969;.
Az összehasonlításból két kifejezést kapjuk, hogy. Így a gyorsulásvektor antiparalel vektor r. felé irányított a központtól. Ennek eredményeképpen, a kép úgy néz ki az irányokat a vektorok, ábrán látható módon. 2.
Ábra. 2. A sugár vektor, a sebesség és a gyorsulás a tömeges pont egy egyenletes körmozgás.
Eddig, ha figyelembe vesszük a forgómozgást, mi működött a nyúlványok a koordináta tengelyek. Eközben gyakran hasznos, hogy kapcsolatokat nem függnek a választott koordinátarendszer vagy rögzítettek szerint, a vektoros formában. Példák az ilyen arányok a kifejezés a pozíció és sebesség egy részecske egy egyenletesen gyorsuló mozgás (lásd. 2. előadás).
Ha figyelembe vesszük a forgómozgást bevezettük a szögsebesség # 969; az idő-származékot a forgásszög # 945;. # 969; = D # 945; / Dt. Nézzük most felmerül a kérdés, hogy a nagyságát, skalár vagy vektor forgatást. Elvégre, ha beszélünk a fordulat, akkor meg kell határozni nemcsak a nagysága a forgatás szögét, hanem bármely tengely körüli forgását (turn), és hogy melyik irányba (jobbra vagy balra). A fenti példában a forgástengely volt Z-tengely és az, mert már felhasznált a megfelelő koordináta-rendszer, a forgatás az óramutató járásával megegyező (nézve pozitív irányban a Z tengely mentén) (ábra. 3).
Ábra. 3. Forgásirány.
Ebből a szempontból a forgásszög kell lennie vektor mennyiség. Azonban, amint azt látni fogjuk a következő előadás, tetszőleges szögben forgatás vektor, általában govopya nem. Concept csak vektorok alkalmazhatók annak a végtelenül kicsi forgásszögek.
Ezért beszél bekapcsolása néhány kisebb szög # 916; # 945;. Meg lehet közelíteni beszélni vektor # 916; # 945; . értéke megegyezik a forgatási szöget, és az irányt jelzi az irányt a forgástengely úgy, hogy a forgás az óramutató járásával megegyező, vagy megfelelően a jobb kéz szabályt. A mi konkrét esetben a vektor # 916; # 945; kollineáris irányában Z tengely. Arra kérünk, hogy hogyan kapcsolódik a mozgás egy anyagi pont # 916; r elforgatásával rádiuszvektorhoz r kis szögben # 916; # 945; (Ábra. 4).
Ábra. 4. Kommunikációs mozgás vektort a forgásszög.
Ez a kérdés könnyen válaszol, ha beszélünk végtelenül forgatások d # 945; . Ezután az infinitezimális elmozdulás és dr. Ennek értéke (megegyezik a húr hossza) ugyanaz most az ív hossza, azaz a
és az irányvektor dr egybeesik a tangens, azaz merőleges r. Ennek eredményeként, van három, egymásra kölcsönösen merőleges vektorok r. dr és d # 945; . alkotó jobbkezes (5.)
Ábra. 5. A relatív orientációját három vektor.
és | dr | = | D # 945; | | R |. Akik emlékeznek az iskolában természetesen a vektor termék vektorok, megértette, hogy minden nehézség nélkül a kívánt arányt felírható vektor egyenlet
Valóban, definíció szerint, a kereszt termék két vektor [A × B] az a vektor,
amely merőleges a síkra, amelyben fekszenek (vagy amelyek forma) két vektor az A és B Ettől eltekintve megfelelő síkban az ökölszabály (lásd. ábra. 6.).
Ábra. 6. Az orientációs tpeh vektopov vektor terméket.
A nagysága a vektor C egyenlő a termék a modulusz a vektorok által szinuszával a köztük lévő szög:
Esetünkben közötti szög vektorok D # 945; és r értéke 90 ° -kal egyenlő. úgy, hogy a szinusz egyenlő eggyel. És mivel, mint már említettük, | dr | = Rd # 945;. ellenőrizzük az érvényességét a vektor arányt dr = [d # 945; × r].
Elosztjuk mindkét oldalán az egyenlet egy végtelenül dt időintervallum. amelynek során volt egy változás a vektor R dr. megkapjuk
A mennyiség azonban a bal oldali, nincs semmi, de a részecskék sebessége v. és a származék
Ez az úgynevezett szögsebességvektorára. Mi először meg abszolút értékben, és most azt mutatják, hogy van értelme beszélni a szögsebesség mint egy vektor. Ennek értéke határozza meg a mértékét a szögsebesség (fordulatszám, illetve a sebesség a szög változás), és a párhuzamos irányban a forgástengely, és így, hogy van egy jobb kéz szabályt. Tehát megvan, hogy
A tájékozódás ezen tpeh vektopov ábrán látható. 7.
Ábra. 7. A tájékozódás a sugár vektor, sebességi vektor és a legyezési sebesség.
Ahhoz, hogy a gyorsulás a. szükség van mindkét oldalon, hogy a derivált időben. ha # 969; folyamatosan (mind nagyság és irány) 1. az
azaz, a gyorsulás merőleges a szögsebesség # 969; és a mozgás sebessége v. És mivel az utóbbit érintő irányú, az azt jelenti, hogy a gyorsulás irányul vagy párhuzamos r. vagy ellentétes irányú. Hogy pontosan megtudhatja a fenti képletben az esetben az érték v. 2
Mivel a példánkban az elején a koordinátákat a SELECT tsent.pe a okpuzhnosti, a szögsebesség # 969; és a sugár vektor r egymásra merőleges, és ennek következtében, a skalár szorzat nulla (általában, mint látni fogjuk, nem minden esetben) és megkapjuk
azaz antiparallel vektorok egy, és R (emlékszik a „centripetális gyorsulás”). A méret, ezek a következők: | a | = # 969; 2. | r |. vagyis van egy ismerős eredményt.
Lehet kérdezni, hogy miért volt szükség, hogy foglalkozik a vektort és egy kettős vektor terméket, ha már lebontották a körkörös mozdulatokkal, megkülönböztetve az idő függvényében a vetülete egy anyagi pont a koordinátatengelyeken (és kapott eredmények ismert az iskolában). Megéri? Igen, ez az, először is, mert felvettük a törvények a mozgás az állandó. mint mondják, a forma, nem függ a választás egy adott koordinátarendszerben. Másodszor, rögzített kapcsolatok érvényesek az általánosabb esetben, ha figyelembe vesszük a rotációs rendszer vagy egy szilárd test egészére (8.).
Ábra. 8. forgatása szilárd.
Tekintettel ezt a képet, akkor könnyen azt mutatják, hogy itt, bár # 969; és r nem merőlegesek egymásra, azonban a korábbi arány végre egy bizonyos sebesség a kiválasztott pont sugarú vektorral r.
Valóban, ábrán látható. 8. pont mozog a körön # 961; = R sin # 946; fordulatszám # 965; = # 969; # 961; = # 969; r sin # 946;. de mivel # 946; - az a szög között a vektorok # 969; és r. látjuk az érvényességét ez a képlet.
Most már tudjuk, a származási és egy tagnak a centripetális gyorsulás (lásd a 9. ábrát ..):
Ábra. 9. centripetális gyorsulás.
Így a gyorsulás egy valójában nem irányul a központ és a vpascheniya tengelyével, ezért nevezhetnénk osestremitelnym. De pazumeetsya, ez nem a címben.
Mellett a kapcsolatban v = [# 969; × R] az a tény, hogy ez tartja az általánosabb eset, amikor a szögsebességvektorára # 969; Ez nem állandó, és idejétől függ: # 969; (T). Ekkor a képlet gyorsuló változás - egy további kifejezés megjelenik benne:
érték # 946; = D # 969; / Dt az úgynevezett szöggyorsulás. Úgy tűnik, ha a változás a szögsebesség (lassul, például egy rotációs körül rögzített tengely), vagy elforgatott a forgástengely maga idővel (vagy mindkettő).
Ábra. 10. A relatív pozíciója egység vektorok.
Összefoglalva, a referencia, hogy egy expressziós vektor derékszögű komponensei prizvedeniya C = [A × B].