John geometria
Fejezet III.
párhuzamos vonalak
§ 38. közötti függőség szögidom,
Van kialakítva két párhuzamos vonalak és osztott.
Tudjuk, hogy a két egyenes párhuzamos, ha a kereszteződésekben a harmadik egyenes vonal egyenlő megfelelő szögek, vagy a belső vagy külső határokon mögött sarkok, vagy az összeget a belső, külső, illetve összege egyenlő egy egyoldalú sarkok 2d. Lássuk be ennek az ellenkezője tétel, nevezetesen:
Ha két párhuzamos vonal metsz egy harmadik, akkor:
1) a megfelelő szögek egyenlő;
2) fekvő keresztirányú belső szögek egyenlő;
3) fekvő keresztirányú külső szögek egyenlő;
4) az összeget a belső szögek egyenlő egyoldalú 2d;
5) az összeg a unilaterális külső szögek egyenlő 2d.
Lássuk be, például, hogy ha a két párhuzamos vonal metsz egy harmadik tétel, a megfelelő szögek egyenlők.
Hagyja, hogy a vonalak AB és CD párhuzamos és MN - azok szekáns (ábra 202). .Dokazhem, hogy megfelelő szögek az 1. és 2. egyenlő.
Tegyük fel, hogy / 1 és / 2 nem egyenlő. Ezután a D pontban lehet építeni / NOB, illetve, és egyenlő / 2 (ábra. 203).
De ha / NOB = / 2, akkor a vonal párhuzamos CD OK (35. §).
Van, hogy a ponton át tartott két egyenes az AB és OC, párhuzamos vonal CD. De ez nem lehet (37. §).
Ez egy ellentmondás, mert feltételezzük, hogy / 1 és / 2 nem egyenlő. Következésképpen, a feltételezés hibás, és / 1 legyen egyenlő / 2, t. E. A megfelelő szögek egyenlő.
Létrehozza a kapcsolat a többi szögek. Hagyja, hogy a AB és CD egyenesek párhuzamosak, és MN - a transzverzális (jellemzők 204.).
Épp most bebizonyította, hogy ebben az esetben, a megfelelő szögek egyenlők. Azt feltételezzük, hogy bármely kettő a 119 ° C. Kiszámítjuk az érték az összes többi hat szögek. A tulajdonságai alapján a szomszédos függőleges szögek és azt látjuk, hogy a négy sarkából a nyolc lesz a 119 °, és a többiek - 61 °.
Azt találtuk, hogy mind a belső és külső sarkok fekvő átlósan páronként egyenlő, és az összeget a belső vagy külső egyoldalú szögek egyenlő 180 ° (vagy 2d).
Ugyanez fordulhat elő más érték megegyezik a mindenkori szögek.
Következmény 1. Ha a két egyenes AB és CD egyenesek párhuzamosak egy és ugyanazon harmadik sorban MN, az első két egyenes párhuzamos egymással (ábra. 205).
Tény, hogy van egy szelő EF (. 206 jellemzői), megkapjuk:
a) / = 1/3, mert AB || MN; b) / 2 = / 3, mivel a CO || MN.
Ennélfogva, / = 1/2, és hogy a megfelelő szögek vonalak AB és CD és EF szelő így egyenes vonalak AB és CD párhuzamosak.
2. Ha a közvetlen következménye merőleges egyik két párhuzamos vonal, akkor merőleges a másik (ábra. 207).
Valójában, ha az EF _ | _ AB, majd a / 1 = d; ha AB || CD, majd a / = 1/2.
Következésképpen / 2 = d vagyis EF _ | _ .. CD-t.