Heterogén lineáris másodrendű differenciálegyenletek állandó együtthatós
Heterogén lineáris másodrendű differenciálegyenletek állandó együtthatós
Határozat. A karakterisztikus egyenlet $$ k ^ + k = 0 \\ k (k + 1) = 0 \ ;; \; k_ = 0 \ ;; \; k _ = - 1, $$
Az általános megoldás homogén egyenletek formájában: $ y = C_ + C_e ^ $
A jobb oldalon az egyenlet $ f (x) = 4x ^ e ^ \ ,, \, \ alpha = 1 $. mert $ \ Alpha = 1 $ nem gyökér a karakterisztikus egyenlet, majd az adott oldatot az inhomogén egyenlet formájában (lásd. Táblázat. Case 2/1) $$ \ overline = (A_x ^ + A_x + A_) e ^ $$
Behelyettesítve az eredeti egyenletet, és elosztjuk mindkét oldalán $ e ^ $. lesz $$ 2A_x ^ + (6A_ + 2A_) x + 2A_ + 3A_ + 2A_ = 4x ^ $$
Egyenlővé együtthatók mint hatásköre a bal és jobb oldalán az egyenlet, megkapjuk a lineáris egyenletrendszer az együtthatók $ A_ \ ,, \, A_ \ text<и> A_ $: $$ \ left \ 2A_ = 4 ; A_ = 2 \\ 6A_ + 2A_ = 0 ; A _ = - 6 \\ 2A_ + 3A_ + 2A_ = 0 ; A_ = 7 \ end \ right. $$ $$ \ overline = (2x ^ -6x + 7) e ^ $$
Az általános megoldás Ennek az egyenletnek $$ y (x) = C_ + C_e ^ + (2x ^ -6x + 7) e ^ $$
Keresse az általános egyenlet megoldása $$ # '#' + # „+ 25y = 4e ^ $$
Megoldás: A karakterisztikus egyenlet $ k ^ + 10k + 25 = 0 $ van egy kettős gyökere $ k_ = K _ = - 5 $, így $ y = (C_ + C_x) e ^ $. mert $ $ A = -5 gyöke a karakterisztikus egyenlet multiplicitás $ S = $ 2, majd az adott oldatot kérik az inhomogén egyenlet formájában (lásd a 2. táblázatot az esetben (2) ..): $$ \ overline = Ax ^ e ^ \ ;; \ ;> # '= A (2x-5x ^) e ^ \ ;; \;> #' # „= A (2-20x + 25x ^) e ^ $$
Behelyettesítve a kifejezéseket $ y \ ,, \, # „\ ,, \ # '#' $ Az eredeti egyenletet, megkapjuk $ 2Ae ^ = 4e ^ \ ,, \, A = 2 \ ,, \, y = 2x ^ e ^ $. Az általános megoldás Ennek az egyenletnek $$ y = (C_ + C_x) e ^ + 2x ^ e ^ $$
Megtalálni egy adott egyenlet megoldása (megoldja a Cauchy probléma) $$ # '#' + # „- 2y = \ cos-3 \ sin $$ kezdeti feltételek: $ y (0) = 1 \ ;; \; # „(0) = 2 \ ;; $
A karakterisztikus egyenlet: $ k ^ + k-2 = 0 $;
A gyökerek a karakterisztikus egyenlet: $ k_ = 1 \ ;; \; k _ = - $ 2;
Az általános megoldása a homogén egyenlet: $ y = C_e ^ + C_e ^ $
Egy különösen oldatot az inhomogén differenciálegyenlet kell törekedni formájában (lásd a táblázatot): $$ \ overline = A \ cos + B \ sin \ ;; \; \\ \ overline # „> = - A \ sin + B \ cos \ ;; \; \\> # '#' = - A \ cos-B \ sin $$
Behelyettesítve a kifejezéseket $ y \ ,, \, # „\ ,, \ # '#' $ Az eredeti egyenletet, megkapjuk: $ (B-3A) \ cos + (- 3B-A) \ sin = \ cos-3 \ sin $ $$ \ left \ B-3A = 1 \\ \ Rightarrow A = 0 . B = 1 ; \\ - (3B + A) = - 3 \ end \ jobb. $$ Ezután az általános megoldás az adott egyenlet a következő formában: $$ y = C_e ^ + C_e ^ + \ sin $$