Törvények kvantor logikai műveletek
Matematika. Az előadások során a hallgatók az Pszichológia
1. rész: Elements of halmazelmélet és a matematikai logika
A logika törvényei. kvantor műveletek
A logika törvényei
Univerzális és egzisztenciális kvantifikátorok
Tagadása kimutatások kvantifikátorok
Szükséges és elégséges feltételei
1. A logika törvényei
Fontos szerepet játszott a logikai azonosan igaz, egyforma hamis állítások (képletek).
A képlet az úgynevezett azonosan igaz. ha be van állítva, hogy „igaz” minden értékére propozicionális változók előforduló benne. Meg van írva, mint.
A képlet az úgynevezett hamis személyazonossággal. ha be van állítva, hogy „false” minden értékére alkotó állítások. Meg van írva, mint.
1. példa Két képletek adják meg: 1; 2. Készíts egy igazság táblázatot, és megjeleníti a formula azonosan igaz, amit - egyformán hamis.
Határozat. Minden propozicionális változó lehet két értéket: vagy. Ezért, az igazság táblázat képletű kell állnia a sorok, ahol - a több különálló propozicionális változók a képletben.
1. Készítmény képletű igazság táblázat, amely tartalmazza a két vonalat.
Összehasonlítva a két utolsó oszlop a igazság táblázat a képlet és vegye figyelembe, hogy azok tartalmazzák az ugyanazon igazság értékeit képletek, és minden ugyanazokat a propozicionális változók és. Ezért, képletek egyenértékűek. azaz.
képletek és egyenértékűség azt jelenti, hogy bármilyen nyilatkozatok és képletek, és akár egyszerre igaz, vagy hamis. Más szóval, az érvényességét a (hamis), amelyek közül az egyik a következőképpen az igazság (hamisságát) más.
Az új tudás a világról nyerhető nemcsak utal a tapasztalat, hanem alkalmazásával logikus érvelés. Szabályokat, amelyek alapján az igazság értéke egy mondása következtetésre igazság értékeket más állítás, úgynevezett zakonamimyshleniya vagy logikai törvényeket.
Törvény (a kettős tagadás)
(A törvény ellentmondás)
(A törvény a kizárt harmadik)
(A törvény de Morgan)
(A törvény de Morgan)
(Szembeállítása)
3. példa A törvény a kettős tagadás eltávolítását teszi lehetővé a csere egy összetett mondat egyszerű nyilatkozatot. Például a „bármely két pont nem tartozik egy sor” () megegyezik a nyilatkozat „bármely két pont tartozik egy sor” ().
2. Az egyetemes és egzisztenciális kvantifikátorok
univerzális kvantor
Tekintsük határozatlan megnyilatkozás (állítmány), amelyek igaz vagy hamis értékétől függ a változó. Például a javaslat - határozatlan mondat. Ez lesz igaz állítás, ha, nevezetesen: „”, és mikor válik egy hamis állítás.
A készlet tartalmaz, például az határozatlan állítás igaz lesz, az úgynevezett egy sor állítás igazság.
Tehát, hogy ki predikatavyskazyvanie. Ez lehet határozatlan megnyilatkozás felülírja a változó az egyik sor igazság értékeket. De van egy másik út építésének nyilatkozatai - A logikai műveletek, az úgynevezett kvantifikátorok. A leggyakrabban használt két kvantor - az univerzális kvantor és egzisztenciális kvantor.
Ha bizonytalan állítás igaz az összes halmaz elemeit, az univerzális kvantor használják, és írjon :. Ebben az esetben a határozatlan mondat alakul igaz állítás. Univerzális kvantor fordított (az első betű Minden angol szó - „minden”).
Bejegyzés a következőképpen szól:
bármilyen (az összes, mindegyik) értékek a beállított állítás igaz; vagy
Minden (bármelyike) sokaságának megvan az a tulajdonsága; vagy
függetlenül a beállított, az állítás igaz.
A definiálatlan változó megnyilatkozás úgynevezett szabad változó (ez lehet különböző értékeket a készlet), és a megnyilatkozás az úgynevezett változó. kapcsolódó kvantor.
4. példa A természetes számok halmaza határozza propozicionális formában: „A szám többszöröse öt.” Jelentkezés határozatlan nyilatkozatot univerzális kvantor, megkapjuk a nyilatkozatot, ami azt jelenti: „Minden természetes számok többszörösei öt.”
Annak bizonyítására, hogy hamis az állítások, azaz tagadni, elegendő annak jelzésére csak az egyik eleme, amelyre ez hamis -, hogy megtalálja, mint mondják, egy ellenpélda.
5. példa Határozzuk meg az igazság vagy a hamis állítások az univerzális kvantor „Mindenesetre az egyik háromszög sarkai egyenes”.
Határozat. Mondván: „Az olyan háromszög egyik szöge is jobb” false. Mint egy ellenpélda is vezethet a háromszög, amely nem rendelkezik a megfelelő szögben.
Ha határozatlan mondat (állítmány) igaz legalább egy elem, akkor használja az egzisztenciális kvantor és írni. Ebben az esetben a határozatlan mondat alakul igaz állítás. Az egzisztenciális kvantor fordított (az első betű az angol szó létezik - «ott").
Bejegyzés a következőképpen szól:
1) van egy értéke több ilyen, hogy ez igaz; vagy
2) az egyes értékek sokaságát állítás igaz; vagy
3) legalább egy értéket a beállított úgy, hogy az állítás igaz.
A definiálatlan változó megnyilatkozás úgynevezett szabad változó (ez lehet különböző értékeket a készlet), és a megnyilatkozás az úgynevezett változó. kapcsolatos egzisztenciális kvantor.
6. példa Legyen a természetes számok halmaza adott predikátum. „A szám többszöröse 5” Record nyilatkozatot.
Határozat. Alkalmazása egzisztenciális kvantor, akkor kap egy kijelentést a állítmány - „Van egy egész számú többszöröse 5.”
Segítségével kvantor lehetővé teszi, hogy az igazság kiderítése vagy a hamis állítások. A mondás igaz. ha van legalább egy értéket a halmaz, ahol az állítás igaz és hamis. amikor az egyes értékek sokaságán állítás hamis.
7. példa Határozzuk meg az igazság vagy a hamis kimutatások egzisztenciális kvantor „Van háromszögeket, amelyek egyik sarkában egy egyenes”.
Határozat. „Vannak háromszögek, amelyben az egyik szög igaza van” - igaz állítás. Valóban, ez lehet építeni egy téglalap alakú háromszöget (valójában - egy sem).
Építőipari nyilatkozatok „” és „” az elsőrendű logika említett műveletek lóg kvantifikátorok vagy logikai műveleteket a változó erejű.
3. Tagadás és kvantifikátorok
Gyakran építeni egy tagadás nyilatkozatot fogalmazott segítségével kvantorokat.
8. példa létezik predikátum „- négyszögletes háromszög” a sor háromszögek. Várj egy állítmány fordul univerzális kvantor, a létezés, és meghatározza a logikai értéket kapunk nyilatkozatokat.
Határozat. Mondván - „Bármely háromszög - négyszögletes” false. Mondván - „Van egy derékszögű háromszög” igaz.
Hogyan építsünk egy megtagadása nyilatkozatok és?
Minden tagadása kimutatások kvantifikátorok tud verbálisan építeni két módon.
Az első módszer. használja részecske „nem” minden nyilatkozatot. Így tagadja kimutatások szimbolikusan ábrázolták, vagy hogy van rögzítve az egész vonalon a tagadás mondván, beleértve kvantifikátorok.
9. példa Construct tagadás kijelentések - „bármilyen négyszögletes háromszög” és - „Van egy derékszögű háromszög” segítségével részecskék „nem” az egész megnyilvánulás.
Határozat. Mert hamis állítások - „Bármely derékszögű háromszög” szerezni annak tagadásával - „Nem igaz, hogy minden derékszögű háromszög”, ami igaz állítás.
Egy igaz állítás - „Van egy derékszögű háromszög” kap egy tagadás - „Nem igaz, hogy van egy derékszögű háromszög” - egy hamis állítás.
A második módszer. használja részecske „nem” csak az állítmány, de kvantifikátorok és helyébe egymást. Ez szimbolikusan, illetve az alábbiak szerint:
amely fel van szerelve a funkció tagadása az állítmány, és helyébe egy kvantor kvantor, és fordítva.
10. példa Construct tagadás kijelentések - „bármilyen négyszögletes háromszög” és - „Van egy derékszögű háromszög” segítségével részecskék „nem” csak az alapul.
Határozat. Összhangban az említett eljárás hamis nyilatkozata - „Bármely derékszögű háromszög” szerezni annak tagadásával alakja - „Van egy háromszög, amely nem téglalap alakú” - állítás igaz.
Egy igaz állítás - „Van egy derékszögű háromszög” formájában kapott tagadás - „Minden háromszög nem derékszögű” - egy hamis állítás.
A második módszer építésének megtagadása kimutatások kvantifikátorok lehetővé teszi számunkra, hogy fogalmazza meg a következő szabályt.
Szabály építési tagadását kvantifikátorok
Ha az állítás, amely kvantorokat:
az állítmány, hogy egy jel a tagadás „”
kvantor cserélje egzisztenciális kvantor, vagy
cserélje ki a egzisztenciális kvantor kvantor,
kapsz egy nyilatkozatot tagadja ezt az állítást.
Tekintettel a szabályok által megfogalmazott tagadás veszi a nyilatkozatok formájában, és a nyilatkozatok a tagadás formáját ölti.
4. szükséges és elégséges feltételei
Sok nyilatkozatok és a készítményben a tételek gyakran használják a „elég”, „szükséges”, „szükséges és elégséges”. Mi az értelme ezeket a kifejezéseket?
Ebből következik.
következménye.
Ha, akkor.
„Végeztem akkor. amikor végre. "
„Ez fog bekövetkezni. amikor végre. "
Mondás úgynevezett elegendő expresszióját. A nyilatkozat szövege a következő: „Annak érdekében, hogy eleget elég. kielégíteni. "
A mondás előfeltétele kifejezést. A nyilatkozat szövege a következő: „Annak érdekében, hogy megfelel a szükségességét. kielégíteni. "
11. példa Tekintsük a mondás: „Ha én telt az összes vizsga az ülésen, majd tovább haladt a második évben.” Keressen egy elégséges feltétel, és szükséges feltétel.
Határozat. Mondván - „Átmentem a vizsgák session” elégséges feltétele a kifejezés - „Elmentem a második évben.” Így hívja magát egy másodéves, csak ha át az összes vizsga. Mondván - „Elmentem a második évben” csak egy szükséges feltétel (az eredmény) a beszámoló - „Átmentem a vizsgák az ülésen."
Ha a nyilatkozatokat, és úgy, hogy minden egyes ilyen kijelentések lesz szükség, és dostatochnymusloviem másik beszédet.
Ebben az esetben a kettő helyett következményeit és átszámítási írás, az olvasás, mint „akkor és csak akkor”.
12. példa Tekintsük a tétel: „Annak érdekében, hogy a háromszög egyenlő szárú háromszög, szükséges és elégséges, hogy a szögek a háromszög alapja egyenlő.” Itt a mondás - „egyenlő szárú háromszög” szükséges és elégséges feltétele a kifejezés - „az alapja egy háromszög szögei egyenlők”, és fordítva.
Ahelyett, hogy a „szükséges és elégséges” gyakran használja a „ha, és csak akkor, ha”, „akkor és csak akkor”.
Néha a „feltétel” helyébe a „jel”, és beszélt, hogy szükség van jelek vagy elegendő kritérium, vagy szükséges és elégséges feltétel.
Azokban az esetekben, amikor a tétel tartalmazza slová „szükséges és elégséges” bizonyíték szükségszerűen két részből áll: 1) bizonyíték a szükségességét állapotú 2) igazolása elégséges feltétel. Ebben a készítményben, sőt, kombinált készítmény két tétel: előre és hátra, amelyek mindegyike kell, levezethető az igazság nem csak egy újabb tétel.