Nulla gyűrű osztó nulla integritását régió
Most bebizonyítjuk, hogy a gyűrű nulla szorozni a szokásos tulajdonság:
1. Tétel Ha az egyik tényező nulla, akkor az összes termék nullával egyenlő, azaz. E.
Megmutatjuk, csak az első az egyenletek az alábbiak szerint a második útján az első IV. A meghatározás szerint a nulla és a különbség 0 = b - b minden b. Ennélfogva, a * 0 = a (b - b) = AB - AB = 0.
Azonban a tétel, az inverz 1. tétel igaz számok nem tárolják gyűrűk, más szóval, ha a termék a két elem a gyűrű nulla, akkor nem lehet azt állítani, hogy legalább egyikük értéke nulla. Így a fenti 10. példában ismertetett álló gyűrű pár (a. B) az egész számok, nulla nyilvánvalóan pár (0, 0). Ha vesszük az egész számok, és a párok (a. 0) és (0, b) nullától eltérő gyűrűk, de (a. 0) (0, b) = (0, 0).
2. meghatározása elemek a és b gyűrűk, melyek, de ab = 0 nevezzük zérusosztó. Ring nélkül zérusosztó is hívják integritástartomány.
Tétel 2. ab = ac kell b = c. ha csak és nem egy zéró osztó.
Bizonyítás. AB = AC kell ab - ac = 0, és egy (b - c) = 0. Mivel azonban az osztó és a nem nulla, akkor B - C = 0, b = c.
A jövőben meg kell foglalkozni kizárólag gyűrűk nélkül zérusosztó. Mert őket ab = ac azt jelenti, b = c.
Ha megszorozzuk a szokásos szabályok érvényesek karakterek, nevezetesen: