Adjungált szereplők - studopediya
Előadás 6 adjoint szereplők. Ilyen konjugált szereplők
6.1. adjoint szereplők
6.2. Ilyen konjugált szereplők
Legyen X és Y - Banach tér, A. X ® Y - korlátozott lineáris operátor. Vegye ki a funkcionális f Î Y „és ez épít egy új funkcionális g (x) = f (Ax). Azt ellenőrzik, hogy g - korlátos lineáris működőképes X. egyenletek
Ebből következik a lineárisérzékenység f és az üzemeltető A. Az egyenlőtlenség
kapjuk, hogy g - korlátos lineáris funkcionális, és hogy
Így a kijelző
Meghatározása 6.1.Sopryazhennym üzemeltető lineáris korlátos szereplő A. X ® Y jelentése az A üzemeltető a”. a következő képlettel A'f (x) = f (Ax) a tér Y 'a térben X'.
Megjegyzés 6.1. Ami A'f (x) két lehetőség a helyét zárójelben (A'f) (x) és A „(f (x)) a második jelentését (f (x) -, valamint a számos üzemeltető” nem alkalmazható a száma ), így az expressziós A'f (x) olvassuk az első kiviteli alakban (a „operátort alkalmazva a funkcionális érték f számítjuk, és az új funkcionalitást a ponton x).
Megmutatjuk, hogy a konjugáció nem ad a korlátozott osztályába lineáris operátorok.
Tétel 6.1. A „operátor. konjugált lineáris határolt szereplő A. lineáris korlátos, ahol || A „|| = || A ||.
Bizonyítás. Mi ellenőrizze a linearitást az üzemeltető „:
Szerint a egyenlőtlenség (1), megkapjuk
t. e. az A üzemeltető a „korlátozott és || A „|| £ || A ||. Megmutatjuk, hogy a fordított egyenlőtlenség || A || £ || A „||. Vegyünk egy tetszőleges x elem Î X és hagyja, hogy y = Ax. A vizsgálat szerint 4,2 Hahn - Banach, létezik egy funkcionális f Î Y”. hogy || f || = 1 és f (y) = || y ||. Ekkor f (Ax) = || ax || és
Így minden olyan x Î X || elégedett ax || £ || A „|| || x ||, ahonnan megkapjuk || A || £ || A „|| és ezért || A „|| = || A ||. Ez azt bizonyítja, a tétel.
Beépített minden üzemeltető adjungáltjának A”. azonosítottunk leképezés L (X. Y) L (Y”. X '), amely az A üzemeltető a helyezi a konjugátum megfelelő az A'. Ezt a leképezést az úgynevezett konjugált feltérképezése. Megjegyzés a következő párosodási tulajdonságai: 1) (A + B) '= A' + B”. 2) az (la) '= la' (linearitás); 3) || A „|| = || A || (Izometrikus).
6) Ha A üzemeltető egy korlátos inverz A - 1., hogy A 'jelentése is invertálható, és (A') - 1 = (A - 1)”.
Bizonyítás. Mivel az AA - 1 = I, és A - 1 A = I. Ezután szerint a tulajdonságait 4) és 5), van (a - 1) 'A' = I és A '(A - 1)' = I. t .. f operátor (a - 1) 'inverze egy'. Az ingatlan bizonyult.
Íme néhány probléma, amelynek megoldása felmerülő természetesen adjoint szereplők.
Legyen A. X ® Y - korlátozott lineáris operátor (X. Y - Banach tér). A feladat az, hogy meghatározzuk, hogy az egyenlet Ax = y x oldatot Î X adott y Î Y. Más szóval, meg kell leírni a képet Im A =
6.2 Tétel. Legyen X és Y - és Banach tér A. X ® Y - korlátozott lineáris operátor, Im A - a képet. A lezárás a kép az üzemeltető a halmaza vektorok y. az említett feltételeket kielégítő f (y) = 0 minden funkcionális f Î Y „olyan, hogy A'f = 0.
Bizonyítás. Let - vektorhalmaz megfelelhet a tétel. Mivel a kereszteződésekben a zárt lineáris altér L jelentése egy zárt altér.
Most bebizonyítjuk felvételét az ellenkező irányba. Tegyük fel, hogy éppen ellenkezőleg, azaz a. E. Hogy van egy elem y0 Î L olyan, hogy. Ezután szerint a következmény 4.3, a Hahn - Banach tétel, létezik egy funkcionális f0. hogy f0 (y0) ¹ 0 és f0 (y) = 0 minden. Ezután A'f0 (x) = f0 (Ax) = 0, és a feltétel Y0 Î L azt jelenti, hogy f0 (y0) = 0. Ez az ellentmondás azt jelenti. Ez azt bizonyítja, a tétel.
Következmény 6.1. Egyenlet Ax = y van egy megoldás, szükség van, és ha a kép Im A zárt, és csak akkor, ha f (y) = 0 minden funkcionális f. kielégíti a homogén konjugátum egyenlet A'f = 0.
Következmény 6.2. Egyenlet Ax = y minden megoldható y Î L. szükséges egyenlet A'f = 0, hogy csak a triviális megoldás.
Bizonyítás. Ha Im A = Y. által 6.2 Tétel minden y és f Î Ker A „jelentése teljesül f (y) = 0, azaz. E. F = 0. Következmény bizonyult.
Következmény 6.3. Egyenlet A'f = 0 van egy egyedi megoldás, ha, és csak akkor, ha.
6.3 Tétel. Operator A. X ® Y korlátos inverz
A - 1. Y ® X, ha, és csak akkor, ha létezik olyan C> 0, hogy az egyenlőtlenségek
Dokazatelstvo.Neobhodimost. Egyenlőtlenségek korlátozások üzemeltetők A - 1 és (A „) - 1 egybeessen az egyenlőtlenségek (2) és (3).
Megfelelősége. Tól (3) következik, hogy Ker A „=. Majd Következmény 6.3. Alkalmazása 2.1 Tétel az inverz operátor, megkapjuk, hogy létezik egy korlátos operátor A - 1. Ez bizonyítja a tétel.
Megjegyzés 6.3. Ezzel szemben az esetben egy véges oldhatósága az egyenlet Ax = y bármely jobb oldalán egy végtelen térben nem kapcsolódik az egyediségét a megoldások ennek az egyenletnek. Tegyük fel például, A - egyoldalú bal eltolás operátora A. l2 ® l2. A (x1. X2. ¼) = (X2. X3. ¼), Im A = l2. Ker A ¹.